प्र1.
इस अध्याय में अब तक हमने जिन अनुक्रमों पर चर्चा की है, उन पर विचार कीजिए। उनमें से कौन-सी समानांतर श्रेढ़ियाँ हैं और कौन-सी नहीं हैं? क्या आप अपने कथन को सिद्ध कर सकते हैं?
उत्तर
जाँच एक ही है और यांत्रिक है: प्रत्येक पद को अगले पद में से घटाइए। यदि सभी अंतर एक ही संख्या हों तो अनुक्रम समानांतर श्रेढ़ी है; एक भी अपवाद उसे अस्वीकार कर देता है।
| अनुक्रम | अंतर | AP? | कारण |
|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5, … | 1, 1, 1, … | हाँ | a = 1, d = 1 |
| 1, 3, 5, 7, 9, … | 2, 2, 2, … | हाँ | a = 1, d = 2 |
| 1, 4, 7, 10, 13, … | 3, 3, 3, … | हाँ | a = 1, d = 3 |
| 1, 5, 9, 13, 17, … | 4, 4, 4, … | हाँ | a = 1, d = 4 (चित्र 8.3) |
| 11, 7, 3, –1, –5, … | –4, –4, –4, … | हाँ | a = 11, d = –4; सार्व अंतर ऋणात्मक भी हो सकता है |
| –7, –3, 1, 5, 9, … | 4, 4, 4, … | हाँ | a = –7, d = 4; पद ऋणात्मक भी हो सकते हैं |
| 1, 3, 6, 10, 15, … (त्रिभुजाकार) | 2, 3, 4, 5 | नहीं | अंतर स्वयं बदलते हैं |
| 1, 4, 9, 16, 25, … (वर्ग) | 3, 5, 7, 9 | नहीं | अंतर विषम संख्याएँ हैं, अचर नहीं |
| 1, 1/2, 1/3, 1/4, … | –1/2, –1/6, –1/12 | नहीं | अंतर घटते जाते हैं |
| 2, 3, 5, 7, 11, 13, … (अभाज्य) | 1, 2, 2, 4, 2 | नहीं | कोई नियमितता नहीं |
| 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (विरहांक) | 1, 1, 2, 3, 5 | नहीं | अंतर स्वयं वही अनुक्रम हैं |
| 1, 5, 13, 29, … (un = 2un–1 + 3) | 4, 8, 16 | नहीं | अंतर प्रत्येक बार दोगुने होते हैं |
ऐसा क्यों होता है: "बढ़ता हुआ" और "समानांतर श्रेढ़ी" एक बात नहीं हैं। त्रिभुजाकार और वर्ग संख्याएँ लगातार बढ़ती हैं, फिर भी कोई भी समानांतर श्रेढ़ी नहीं है, क्योंकि समानांतर श्रेढ़ी होना अंतरों के विषय में कथन है, पदों के विषय में नहीं। समतुल्य रूप से, tn = an + b (n में रैखिक) प्रकार का व्यापक सूत्र सदैव समानांतर श्रेढ़ी देता है, और जिस सूत्र में n2 हो या n घातांक में हो, वह कभी नहीं देता।
संकेत: केवल एक युग्म की जाँच से कुछ सिद्ध नहीं होता। 1, 3, 6 का पहला अंतर 2 है, फिर भी यह समानांतर श्रेढ़ी नहीं है — प्रत्येक अंतर की जाँच आवश्यक है।