प्र1.
क्या इसी विधि द्वारा 1 + 2 + 3 + ... + 100 का योगफल ज्ञात किया जा सकता है?
उत्तर
हाँ — यह विधि सूची की लंबाई पर निर्भर नहीं करती। योग को सीधा लिखिए, नीचे उल्टा लिखिए, और स्तंभवार जोड़िए।
S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 (101 का 100 बार योग)
2S = 100 × 101 = 10100
S = 5050
S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 (101 का 100 बार योग)
2S = 100 × 101 = 10100
S = 5050
यही उत्तर सूत्र Sn = n(n + 1)/2 में n = 100 रखने पर भी मिलता है: (100 × 101)/2 = 5050।
ऐसा क्यों होता है: दोनों पंक्तियों को जोड़ने की युक्ति इसलिए चलती है, क्योंकि दाईं ओर बढ़ते हुए पहली पंक्ति 1 से बढ़ती है और दूसरी 1 से घटती है, अत: प्रत्येक स्तंभ का योग एक ही रहता है। वह योग सदैव (प्रथम पद + अंतिम पद) = 1 + 100 = 101 है, और स्तंभ उतने ही हैं जितने पद। यही कारण है कि यह युक्ति किसी भी n के लिए चलती है — और यही वह तर्क है जो सूत्र बनाता है, केवल उसकी जाँच नहीं करता।
क्या आप जानते हैं? आर्यभटीयम में आर्यभट के नियम का दूसरा भाग ठीक यही है: प्रथम और अंतिम पद का औसत लीजिए, फिर पदों की संख्या से गुणा कीजिए। यहाँ वह है (1 + 100)/2 × 100 = 50.5 × 100 = 5050।