सूत्र के पीछे का चित्र (चित्र 8.5)। लाल वृत्त 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 गिनते हैं; हरे वृत्त उतने ही; दोनों मिलकर 7 × 6 का आयत भर देते हैं।
ऐसा क्यों होता है: 1, 2, 3, …, n की सीढ़ी की दो प्रतियाँ आपस में मिलकर (n + 1) चौड़ा और n ऊँचा आयत बना देती हैं। उस आयत में n(n + 1) वृत्त हैं और वह ठीक योग का दुगुना है, अत: Sn = n(n + 1)/2। चूँकि तर्क इस बात पर है कि दोनों सीढ़ियाँ कैसे बैठती हैं, वह n = 20 और n = 1000 के लिए भी उतना ही सही है जितना उस n = 6 के लिए, जिसे आप बना सकते हैं।
स्वयं जाँचिए: n और n + 1 में से एक सदैव सम होता है, अत: n(n + 1)/2 सदैव पूर्ण संख्या है — जैसा वृत्तों की गिनती को होना ही चाहिए।
प्र2.
आइए, त्रिभुजाकार संख्याओं 1, 3, 6, 10, 15, ... के अनुक्रम tn पर पुन: विचार करते हैं, जिसे चित्र 8.1 में दर्शाया गया है। ध्यान दीजिए कि इस अनुक्रम का nवाँ पद, प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग है। इस प्रकार tn = n(n + 1)/2 है। क्या आप इस सूत्र का उपयोग 10वीं, 17वीं और 80वीं त्रिभुजाकार संख्याएँ प्राप्त करने में कर सकते हैं?
पहले उत्तर की सीधी जाँच: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55।
ऐसा क्यों होता है: इस अनुभाग के दोनों विचार वास्तव में एक ही विचार हैं। n पंक्तियों वाली त्रिभुजाकार व्यवस्था में सबसे ऊपर 1 बिंदु, अगली पंक्ति में 2, और इसी प्रकार नीचे n तक होते हैं — अत: उसके बिंदु गिनना प्रथम n प्राकृत संख्याओं को जोड़ना ही है। एक बार यह योग n(n + 1)/2 ज्ञात हो जाने पर प्रत्येक त्रिभुजाकार संख्या बिना एक भी बिंदु बनाए मिल जाती है। 80वीं व्यवस्था बनाने में 3240 बिंदु लगते; सूत्र में केवल एक गुणा और एक भाग।
यह कीजिए: दो क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याएँ जोड़िए, जैसे 55 + 66। उत्तर 121 = 112 आता है। दो त्रिभुज सदैव मिलकर एक वर्ग बनाते हैं।
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