कक्षा ९ गणित अध्याय 6 प्रश्नावली 6.1 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

किसी अन्य निर्देश की अनुपस्थिति में, सन्निकटन π = 22/7 का उपयोग कीजिए। एक वृत्त का परिमाप 44 सेंटीमीटर है। इसकी त्रिज्या क्या होगी?

उत्तर

r = 7 सेंटीमीटर।

C = 2πr
44 = 2 × ²²⁄₇ × r
44 = ⁴⁴⁄₇ r
r = 44 × ⁷⁄₄₄ = 7 सेंटीमीटर

संकेत: π ≈ 22/7 लेने पर 7 त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ठीक 44 आती है। 7, 14, 21, 3.5 और 10.5 सेंटीमीटर की त्रिज्याएँ गणना को सरल रखती हैं, इसीलिए इस प्रश्नावली में बार-बार आती हैं।

प्र2.

निम्नलिखित वृत्तों की परिधि की गणना 3 दशमलव स्थानों तक कीजिए — (i) त्रिज्या 7 सेंटीमीटर (ii) त्रिज्या 10 सेंटीमीटर (iii) त्रिज्या 12 सेंटीमीटर

उत्तर

C = 2πr में π ≈ ²²⁄₇ रखने पर —

त्रिज्या	2 × 22/7 × r	सही मान	3 दशमलव स्थानों तक
(i) 7 से.मी.	2 × 22/7 × 7	44 से.मी.	44.000 से.मी.
(ii) 10 से.मी.	2 × 22/7 × 10 = 440/7	62.8571… से.मी.	62.857 से.मी.
(iii) 12 से.मी.	2 × 22/7 × 12 = 528/7	75.4285… से.मी.	75.429 से.मी.

ऐसा क्यों होता है: 440 ÷ 7 = 62.857142… में चौथा दशमलव अंक 1 है, अतः तीसरा अंक अपरिवर्तित रहता है और उत्तर 62.857 है। 528 ÷ 7 = 75.428571… में चौथा अंक 5 है, अतः तीसरा अंक 8 से बढ़कर 9 हो जाता है और उत्तर 75.429 है।

संकेत: अंग्रेज़ी संस्करण में यही प्रश्न 3 सार्थक अंकों तक उत्तर माँगता है, जिससे 44.0 से.मी., 62.9 से.मी. और 75.4 से.मी. मिलते हैं।

प्र3.

वृत्त की चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि — (i) त्रिज्या 3.5 सेंटीमीटर है और केंद्र पर कोण 60° है तथा (ii) वृत्त की त्रिज्या 6.3 मीटर है और केंद्र पर कोण 120° है।

उत्तर

केंद्र पर θ° अंतरित करने वाली चाप पूरे वृत्त का θ/360 भाग होती है।

l = 2πr × ^θ°⁄_360°

(i) r = 3.5 से.मी., θ = 60°

पूरी परिधि = 2 × ²²⁄₇ × 3.5 = 22 से.मी.
l = 22 × ⁶⁰⁄₃₆₀ = ²²⁄₆ = ¹¹⁄₃ = 3.67 से.मी. (2 दशमलव स्थान)

(ii) r = 6.3 मीटर, θ = 120°

पूरी परिधि = 2 × ²²⁄₇ × 6.3 = ⁴⁴⁄₇ × 6.3 = 44 × 0.9 = 39.6 मीटर
l = 39.6 × ¹²⁰⁄₃₆₀ = 39.6 × ¹⁄₃ = 13.2 मीटर

ऐसा क्यों होता है: वृत्त अपने केंद्र के परितः किसी भी कोण से घुमाने पर वैसा ही दिखता है। अतः यदि वृत्त को 360 बराबर एक-डिग्री चापों में काटें तो वे सब सर्वांगसम होंगी। θ° की चाप उनमें से θ चापों से बनी है, अर्थात पूरे वृत्त का θ/360 भाग। यह सूत्र शुद्ध समानुपात है, इसमें कोई नया विचार नहीं।

प्र4.

14 सेंटीमीटर त्रिज्या और 75° त्रिज्यखंड कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड (अर्थात एक वक्र भाग और दो सीधी रेखा वाले भाग) का परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर

परिमाप = 46.33 सेंटीमीटर (ठीक ¹³⁹⁄₃ सेंटीमीटर)।

पूरी परिधि = 2 × ²²⁄₇ × 14 = 88 से.मी.
चाप = 88 × ⁷⁵⁄₃₆₀ = 88 × ⁵⁄₂₄ = ⁵⁵⁄₃ = 18.33 से.मी.

परिमाप = चाप + दो त्रिज्याएँ
= ⁵⁵⁄₃ + 2 × 14
= 18.33 + 28
= 46.33 सेंटीमीटर

संकेत: इस प्रश्न में सबसे आम भूल केवल चाप की लंबाई लिख देना है। त्रिज्यखंड तीन रेखाओं से घिरा है — एक वक्र और दो सीधी — अतः दोनों त्रिज्याएँ जोड़नी ही होंगी।

प्र5.

निम्नलिखित आकृतियों का परिमाप (चापों को आवश्यकतानुसार वृत्त का एक-चौथाई, आधा या तीन-चौथाई मानकर) ज्ञात कीजिए (चित्र 6.14(i) से 6.14(ix)) — (i) 80 मीटर लंबे और 60 मीटर चौड़े आयत की दोनों छोटी भुजाओं पर अर्द्धवृत्त; (ii) आधी वलय, जिसके बाहरी अर्द्धवृत्त का व्यास 12 सेंटीमीटर और भीतरी का 8 सेंटीमीटर है; (iii) 10 सेंटीमीटर भुजा वाले वर्ग की प्रत्येक भुजा पर बाहर की ओर अर्द्धवृत्त; (iv) 12 सेंटीमीटर भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा पर बाहर की ओर अर्द्धवृत्त; (v) 14 सेंटीमीटर भुजा वाली 3 × 3 कोष्ठकों की जालीदार वर्गाकार आकृति, जिसकी प्रत्येक भुजा के मध्य तिहाई भाग पर बाहर की ओर अर्द्धवृत्त और प्रत्येक कोने पर 14 सेंटीमीटर त्रिज्या का चतुर्थांश वृत्त है; (vi) 28 सेंटीमीटर व्यास वाला अर्द्धवृत्त, जिसका व्यास चार बराबर भागों में बँटा है और प्रत्येक भाग पर 7 सेंटीमीटर व्यास का अर्द्धवृत्त एक बार नीचे और एक बार ऊपर बना है; (vii) 8 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर बाहर की ओर अर्द्धवृत्त; (viii) 12 सेंटीमीटर व्यास वाला अर्द्धवृत्त, जिसके व्यास पर 4-4 सेंटीमीटर व्यास के तीन अर्द्धवृत्त बने हैं; (ix) 20 सेंटीमीटर व्यास वाला अर्द्धवृत्त, तथा व्यास के बाएँ आधे भाग पर ऊपर की ओर और दाएँ आधे भाग पर नीचे की ओर 10-10 सेंटीमीटर व्यास के अर्द्धवृत्त।

उत्तर

ये सभी आकृतियाँ ऐसी चापों से बनी हैं जिनकी लंबाई आप जानते हैं। स्मरण रखिए कि r त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त की चाप की लंबाई πr होती है और चतुर्थांश वृत्त की πr/2। सर्वत्र π ≈ ²²⁄₇ लीजिए।

आकृति	किससे बनी है	π के पदों में	परिमाप
(i)	80 मी. की 2 सीधी भुजाएँ + 60 मी. व्यास के 2 अर्द्धवृत्त	160 + 60π	348.57 मीटर
(ii)	r = 6 का अर्द्धवृत्त + r = 4 का अर्द्धवृत्त + 2-2 से.मी. के 2 सीधे टुकड़े	10π + 4	35.43 से.मी.
(iii)	5 से.मी. त्रिज्या के 4 अर्द्धवृत्त	20π	62.86 से.मी.
(iv)	6 से.मी. त्रिज्या के 3 अर्द्धवृत्त	18π	56.57 से.मी.
(v)	7 से.मी. त्रिज्या के 4 अर्द्धवृत्त + 14 से.मी. त्रिज्या के 4 चतुर्थांश	28π + 28π = 56π	176 से.मी.
(vi)	14 से.मी. त्रिज्या का 1 अर्द्धवृत्त + 3.5 से.मी. त्रिज्या के 4 अर्द्धवृत्त	14π + 14π = 28π	88 से.मी.
(vii)	6, 8 और 10 से.मी. पर बने अर्द्धवृत्त	3π + 4π + 5π = 12π	37.71 से.मी.
(viii)	6 से.मी. त्रिज्या का 1 अर्द्धवृत्त + 2 से.मी. त्रिज्या के 3 अर्द्धवृत्त	6π + 6π = 12π	37.71 से.मी.
(ix)	10 से.मी. त्रिज्या का 1 अर्द्धवृत्त + 5 से.मी. त्रिज्या के 2 अर्द्धवृत्त	10π + 10π = 20π	62.86 से.मी.

प्रत्येक आकृति की गणना।

(i) 2(80) + 2 × ½ × π × 60 = 160 + 60 × ²²⁄₇ = 160 + ¹³²⁰⁄₇ = ²⁴⁴⁰⁄₇ = 348.57 मीटर

(ii) नीचे की सपाट कोर एक ही सीधा टुकड़ा नहीं है — भीतरी अर्द्धवृत्त दोनों ओर (12 − 8) ÷ 2 = 2 से.मी. के अंतराल छोड़ता है।
π(6) + π(4) + 2 + 2 = 10π + 4 = ²²⁰⁄₇ + 4 = 35.43 से.मी.

(iii) वर्ग की प्रत्येक भुजा एक अर्द्धवृत्त का व्यास है, अतः r = 5।
4 × π(5) = 20π = ⁴⁴⁰⁄₇ = 62.86 से.मी.

(iv) त्रिभुज की प्रत्येक भुजा व्यास है, अतः r = 6।
3 × π(6) = 18π = ³⁹⁶⁄₇ = 56.57 से.मी.

(v) 14 से.मी. के खंड पर अर्द्धवृत्त: π(7) = 22 से.मी. प्रत्येक, चार = 88 से.मी.
14 से.मी. त्रिज्या का चतुर्थांश: ¼ × 2π(14) = 7π = 22 से.मी. प्रत्येक, चार = 88 से.मी.
कुल = 176 से.मी.

(vi) बड़ा अर्द्धवृत्त: π(14) = 44 से.मी.। प्रत्येक छोटा अर्द्धवृत्त: π(3.5) = 11 से.मी.; चार = 44 से.मी.
कुल = 88 से.मी.

(vii) कर्ण = √(8² + 6²) = √100 = 10 से.मी.
½π(10 + 8 + 6) = 12π = ²⁶⁴⁄₇ = 37.71 से.मी.

(viii) π(6) + 3 × π(2) = 6π + 6π = 12π = 37.71 से.मी.

(ix) π(10) + π(5) + π(5) = 20π = 62.86 से.मी.

आकृति (vi): चारों छोटे अर्द्धवृत्त बारी-बारी से नीचे और ऊपर हैं, फिर भी प्रत्येक की लंबाई π(3.5) = 11 से.मी. ही है — किस ओर उभरे हैं, इससे लंबाई नहीं बदलती।

ऐसा क्यों होता है: इन सभी आकृतियों में सीधी कोरें या तो हैं ही नहीं या सरल हैं, और वक्र कोरें सदा पूरे अर्द्धवृत्त या चतुर्थांश हैं। अतः कुल योग सदा πr या πr/2 रूप के पदों का जोड़ है। (vi) का ठीक 28π और (viii) का ठीक 12π आना इसलिए होता है कि छोटे अर्द्धवृत्त व्यास के टुकड़ों पर बने हैं, और (टुकड़ों के योग) का आधा पूरे व्यास के आधे के बराबर होता है। लंबाई व्यास के अनुदिश योज्य है, इसलिए एक अर्द्धवृत्त को उसके भागों पर बने कई छोटे अर्द्धवृत्तों में बाँटने से कुल चाप-लंबाई बिल्कुल नहीं बदलती।

स्वयं जाँचिए: (viii) की तुलना (vi) से कीजिए। दोनों में छोटे अर्द्धवृत्त बँटे हुए व्यास पर बैठे हैं और दोनों में छोटी चापों का योग पूरे व्यास पर बने एक बड़े अर्द्धवृत्त के बराबर है। 5 या 10 टुकड़ों से कीजिए — योग सदा वही रहेगा।

प्र6.

यदि कार के पहिए का व्यास 56 सेंटीमीटर है तो — (i) पहिए का एक चक्कर पूर्ण करने के लिए कार को कितनी दूरी तय करनी होगी? (ii) यदि कार 10 किलोमीटर की दूरी तय करती है तो पहिया कितने चक्कर लगाता है?

उत्तर

(i) 176 सेंटीमीटर = 1.76 मीटर। (ii) लगभग 5682 चक्कर।

(i) एक चक्कर में तय दूरी = परिधि = πd
= ²²⁄₇ × 56
= 22 × 8
= 176 से.मी. = 1.76 मीटर

(ii) 10 किलोमीटर = 10 × 1000 × 100 = 10,00,000 से.मी.
चक्करों की संख्या = ^1000000⁄₁₇₆ = 5681.81…
≈ 5682 चक्कर

ऐसा क्यों होता है: बिना फिसले लुढ़कता पहिया प्रत्येक चक्कर में अपनी पूरी परिधि सड़क पर बिछा देता है, जैसे फीता खुलता हो। अतः एक चक्कर कार को एक परिधि आगे बढ़ाता है। इसीलिए बड़े पहिए को उतनी ही दूरी के लिए कम चक्कर लगाने पड़ते हैं — और इसीलिए साइकिल के दूरी-मापक को पहले पहिए का माप बताना पड़ता है।

संकेत: पहिया 5681 पूरे चक्कर लगाता है और 5682वें चक्कर के कुछ भाग में है। यदि प्रश्न "कितने पूरे चक्कर" पूछे तो उत्तर 5681 होगा।

प्र7.

दिए गए प्रत्येक फूल की समस्त पंखुड़ियों का कुल परिमाप ज्ञात कीजिए — (i) चित्र 6.15(क): 14 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग, जिसमें चापों के केंद्र वर्ग की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं। (ii) चित्र 6.15(ख): 42 सेंटीमीटर भुजा वाला सम षट्भुज, जिसमें चापों के केंद्र षट्भुज के शीर्ष हैं।

उत्तर

(i) 88 सेंटीमीटर। (ii) 528 सेंटीमीटर।

(i) 14 सेंटीमीटर भुजा वाले वर्ग में चार पंखुड़ियों वाला फूल।

प्रत्येक चाप का केंद्र किसी भुजा का मध्यबिंदु है और वह वर्ग के दो शीर्षों से होकर जाती है, अतः उसकी त्रिज्या भुजा की आधी है — r = 7 सेंटीमीटर। नीचे की भुजा का मध्यबिंदु केंद्र लीजिए। चाप नीचे-बाएँ शीर्ष से वर्ग के केंद्र तक जाती है — भुजा के अनुदिश बिंदु से भुजा पर लंब बिंदु तक — अतः वह 90° घूमती है।

प्रत्येक चाप = ¼ × 2π(7) = ^7π⁄₂
प्रत्येक पंखुड़ी 2 ऐसी चापों से घिरी है
4 पंखुड़ियाँ ⟹ 8 चापें

कुल = 8 × ^7π⁄₂ = 28π = 28 × ²²⁄₇ = 88 सेंटीमीटर

चार पंखुड़ियाँ, 7 सेंटीमीटर त्रिज्या की आठ चतुर्थांश चापें, जिनके केंद्र भुजाओं के मध्यबिंदु हैं।

(ii) 42 सेंटीमीटर भुजा वाले सम षट्भुज में छह पंखुड़ियों वाला फूल।

सम षट्भुज में केंद्र से शीर्ष तक की दूरी भुजा के बराबर, 42 सेंटीमीटर, होती है। अतः किसी शीर्ष पर केंद्रित 42 त्रिज्या की चाप षट्भुज के केंद्र से और दोनों पड़ोसी शीर्षों से होकर जाती है। प्रत्येक पंखुड़ी केंद्र O से किसी शीर्ष V तक जाती है और V से पहले तथा V के बाद वाले शीर्षों पर केंद्रित चापों से घिरी होती है।

पड़ोसी शीर्ष W पर केंद्रित O से V तक की चाप लीजिए।
WO = 42 (केंद्र से शीर्ष), WV = 42 (भुजा), OV = 42 (केंद्र से शीर्ष)
∴ त्रिभुज OWV समबाहु है ⟹ ∠OWV = 60°

प्रत्येक चाप = ⁶⁰⁄₃₆₀ × 2π(42) = 14π = 44 से.मी.
प्रत्येक पंखुड़ी = 2 चापें = 88 से.मी.
6 पंखुड़ियाँ ⟹ 12 चापें

कुल = 12 × 44 = 528 सेंटीमीटर

ऐसा क्यों होता है: दोनों फूल परकार की नोक बहुभुज के किसी विशेष बिंदु पर रखकर, आकृति में पहले से उपस्थित लंबाई की त्रिज्या से खींचे गए हैं। इससे कोण सुंदर बन जाता है — वर्ग की भुजा के मध्यबिंदु से 90°, षट्भुज के शीर्ष से 60° — और सुंदर कोण ही चाप को परिधि का सरल भाग बनाता है। रंगोली और जाली के प्रतिरूप इसी कारण इसी विधि से बनते हैं — परकार की एक ही सेटिंग से पूरा अभिकल्प बन जाता है।

प्र8.

दो वृत्तों के परिमाप का अनुपात 5:4 है। उनकी त्रिज्या का अनुपात क्या है?

उत्तर

5 : 4 — वही अनुपात।

P₁ : P₂ = 5 : 4
2πr₁ : 2πr₂ = 5 : 4
^2πr₁⁄_2πr₂ = ⁵⁄₄
2π का गुणक कट जाता है
^r₁⁄_r₂ = ⁵⁄₄
∴ r₁ : r₂ = 5 : 4

ऐसा क्यों होता है: परिमाप त्रिज्या के अनुक्रमानुपाती है और अनुपातिकता का अचर 2π स्थिर है। अनुक्रमानुपाती राशियों का अनुपात सदा वही रहता है। क्षेत्रफल से तुलना कीजिए — A = πr² होने के कारण क्षेत्रफलों का अनुपात 5² : 4² = 25 : 16 होता। लंबाइयाँ k के अनुसार मापित होती हैं, क्षेत्रफल k² के अनुसार।

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