किसी आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई ज्ञात होने पर ज्ञात किया जा सकता है। क्या समांतर चतुर्भुज के लिए भी यही सत्य है? अर्थात क्या भुजाओं की लंबाई ज्ञात होने पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है? क्यों अथवा क्यों नहीं? (संकेत — यदि हम समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं की लंबाई स्

Question

Accepted Answer

नहीं। भुजाओं की लंबाइयाँ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निर्धारित नहीं करतीं। दो समांतर चतुर्भुजों की चारों भुजाएँ बिल्कुल समान हो सकती हैं और फिर भी उनके क्षेत्रफल पूरी तरह अलग हो सकते हैं। h h′ b b भुजाएँ वही, कोण भिन्न — इसलिए ऊँचाई कम और क्षेत्रफल कम। केवल कोण बदला है। क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = b × h आधार b भुजा की लंबाई से निश्चित है, किंतु h नहीं। जैसे-जैसे भुजाओं के मध्य कोण 0° की ओर दबता है, h → 0 और क्षेत्रफल → 0। जैसे-जैसे कोण 90° की ओर खुलता है, h अपने अधिकतम मान, दूसरी भुजा a, तक बढ़ता है। अतः स्थिर भुजाओं a और b के लिए: 0 < क्षेत्रफल ≤ ab , और समता केवल आयत में। ऐसा क्यों होता है: कोनों पर कब्ज़े से जुड़ी चार छड़ों से बना समांतर चतुर्भुज लचीली आकृति है — आप उसे बिना कोई भुजा बदले चपटा कर सकते हैं। तीन छड़ों से बना त्रिभुज बिल्कुल नहीं मुड़ सकता, इसीलिए तीन भुजाएँ त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करती हैं (हीरोन का सूत्र) किंतु चार भुजाएँ चतुर्भुज का कभी नहीं। पुस्तक यही बात चित्र 6.27 के 3, 3, 3, 3 भुजाओं वाले समचतुर्भुज से फिर कहती है, जिसका क्षेत्रफल 9 भी हो सकता है, 8.01 भी और 5.41 भी। क्या आप जानते हैं? इसीलिए बढ़ई फाटक पर एक विकर्ण पट्टी लगाता है। केवल चार भुजाएँ फाटक को संकरे समांतर चतुर्भुज में झुक जाने की छूट देती हैं; विकर्ण उसे दो दृढ़ त्रिभुजों में बदल देता है।

कक्षा ९ गणित अध्याय 6 सोचिए और विचार कीजिए के लिए एनसीईआरटी समाधान