कक्षा ९ गणित अध्याय 7 अंतिम प्रश्नावली के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— (i) असंभव घटना की प्रायिकता _____ है। (ii) एक यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों के समुच्चय को _____ कहा जाता है। (iii) एक निश्चित ही घटित होने वाली घटना की प्रायिकता _____ है। (iv) निष्पक्ष सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता _____ है।

उत्तर

भाग	उत्तर	कारण
(i) असंभव घटना की प्रायिकता	0	कोई भी परिणाम अनुकूल नहीं है, अतः P = 0/n(S) = 0.
(ii) सभी संभव परिणामों का समुच्चय	प्रतिदर्श समष्टि (S)	परिभाषा से; उसका आकार प्रतिदर्श आकार n(S) है।
(iii) निश्चित घटना की प्रायिकता	1	प्रत्येक परिणाम अनुकूल है, अतः P = n(S)/n(S) = 1.
(iv) निष्पक्ष सिक्के पर चित	1/2 (0.5 अथवा 50%)	S = {H, T}, दोनों समप्रायिक, एक अनुकूल।

ऐसा क्यों होता है: (i) और (iii) प्रायिकता पैमाने के दोनों सिरे हैं और यही बताते हैं कि कोई प्रायिकता इस पैमाने से बाहर क्यों नहीं जा सकती। अनुकूल परिणामों की संख्या n(A) कभी 0 से कम और n(S) से अधिक नहीं हो सकती, अतः भिन्न n(A)/n(S) सदैव 0 और 1 के बीच बँधी रहती है — सारांश में लिखा 0 ≤ P(E) ≤ 1 यही कहता है।

संकेत: P(E) = 0 और P(E) = 1 ठीक-ठीक विपरीत हैं — यदि E असंभव है तो 'E नहीं' निश्चित है, और P(E नहीं) = 1 − P(E) = 1 − 0 = 1.

प्र2.

50 विद्यार्थियों के एक सर्वेक्षण में 15 विद्यार्थियों ने कहा कि उन्हें फुटबॉल पसंद है। फुटबॉल पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या 15 है और _______ (आवृत्ति/सापेक्षिक आवृत्ति) _____ है (भिन्न अथवा दशमलव में पूर्ति कीजिए)।

उत्तर

रिक्त स्थानों में क्रमशः सापेक्षिक आवृत्ति और 15/50 = 3/10 = 0.3 आएगा।

'फुटबॉल पसंद है' की आवृत्ति = 15 (एक गिनती)
सापेक्षिक आवृत्ति = 15/50 = 3/10 = 0.3 अथवा 30% (कुल का एक अंश)

ऐसा क्यों होता है: यह वाक्य दोनों शब्दों को जान-बूझकर साथ रखता है। आवृत्ति "कितने?" का उत्तर देती है और एक पूर्ण संख्या है, जो अधिक लोगों से पूछने पर बढ़ती जाती है। सापेक्षिक आवृत्ति "कितना अंश?" का उत्तर देती है — वह कुल से भाग देती है, अतः सदैव 0 और 1 के बीच रहती है और भिन्न आकार के सर्वेक्षणों की तुलना संभव बनाती है। प्रायिकता का आकलन सापेक्षिक आवृत्ति से होता है, आवृत्ति से नहीं — P(यादृच्छिक चयनित विद्यार्थी को फुटबॉल पसंद है) ≈ 0.3.

संकेत: 200 विद्यार्थियों के दूसरे सर्वेक्षण में आवृत्ति 62 हो सकती है — कहीं बड़ी संख्या — फिर भी सापेक्षिक आवृत्ति 62/200 = 0.31 अर्थात लगभग वही। यही स्थिरता वह कारण है जिसके लिए प्रायिकता को अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

प्र3.

निम्नलिखित में किस प्रयोग के समप्रायिक परिणाम हैं? व्याख्या कीजिए। (i) एक चालक कार को चालू करने का प्रयास कर रहा है। कार चालू होती है या नहीं होती है। (ii) निष्पक्ष सिक्का एक बार उछालना। (iii) निष्पक्ष षट्फलकीय पासा फेंकना। (iv) एक थैली से यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकालना, जिसमें 3 लाल कंचे और 7 नीले कंचे हों। (v) एक बच्चे का जन्म हुआ है। यह एक लड़का है या लड़की है।

उत्तर

केवल (ii) और (iii) के परिणाम समप्रायिक हैं। (v) को विद्यालयी प्रश्नों में समप्रायिक माना जाता है, पर वह ठीक-ठीक समप्रायिक नहीं है।

प्रयोग	समप्रायिक?	व्याख्या
(i) कार चालू होना / न होना	नहीं	परिणाम बैटरी, ईंधन और कार की आयु पर निर्भर है — ये भौतिक तथ्य हैं, सममिति नहीं। सुव्यवस्थित कार न चलने की तुलना में कहीं अधिक बार चालू होती है।
(ii) निष्पक्ष सिक्का एक बार उछालना	हाँ	सिक्का सममितीय और निष्पक्ष है, अतः किसी एक फलक के पक्ष में कोई कारण नहीं — P(चित) = P(पट) = 1/2.
(iii) निष्पक्ष षट्फलकीय पासा फेंकना	हाँ	छहों फलक आकार और भार में एक-से हैं, अतः प्रत्येक की प्रायिकता 1/6.
(iv) 3 लाल और 7 नीले कंचों में से एक	नहीं (रंग के अनुसार)	P(लाल) = 3/10 और P(नीला) = 7/10. दस कंचे समप्रायिक हैं, प्रत्येक 1/10; दो रंग समप्रायिक नहीं हैं।
(v) बच्चा लड़का है या लड़की	लगभग, पर ठीक-ठीक नहीं	विश्व भर के जन्म-अभिलेख बताते हैं कि लड़कों की संख्या कुछ अधिक होती है — प्रति 100 जन्मों में लगभग 51 लड़के। विद्यालयी प्रश्नों में इसे 1/2 मान लेना एक अच्छा सन्निकटन है, सममिति से निकला तथ्य नहीं।

ऐसा क्यों होता है: दो परिणामों का केवल दो होना उन्हें समप्रायिक नहीं बना देता — (i), (iv) और (v) इसी भूल की जाँच कर रहे हैं। समप्रायिकता कहीं-न-कहीं से आनी चाहिए — या तो भौतिक सममिति से, जैसे सिक्के और पासे में, या आँकड़ों से। (iv) में सममिति वास्तव में है, पर वह कंचों की है, रंगों की नहीं — इसीलिए प्रतिदर्श समष्टि को {कं₁, …, कं₁₀} लिखते ही गिनती का सूत्र फिर काम करने लगता है।

संकेत: जब भी कोई प्रश्न ठीक दो परिणाम दे, 1/2 लिखने की जल्दी मत कीजिए। पहले पूछिए कि इन्हें समान कौन बनाता है। (i) में कुछ भी नहीं बनाता।

प्र4.

दी गई सूचनाओं के आधार पर प्रतिदर्श समष्टि लिखिए और प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (i) एक ही समय पर दो सिक्कों को उछाला जाता है। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है? (ii) 10 सर्वसम पत्ते 1 से 10 तक संख्यांकित करके एक बक्से में रखे गए हैं। एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। एक सम संख्या वाले पत्ते के आने की प्रायिकता क्या है? (iii) एक पासा एक बार फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है? (iv) एक थैले में 3 लाल गेंदें, 2 नीली गेंदें और 1 हरी गेंद हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गेंद लाल नहीं होगी? (v) तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। ठीक दो चित आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर

(i) दो सिक्के, कम-से-कम एक चित।

S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4
E = {HH, HT, TH}, n(E) = 3
P(कम-से-कम एक चित) = 3/4 = 0.75

अथवा पूरक से — असफल होने का एकमात्र ढंग TT है, अतः P = 1 − 1/4 = 3/4.

(ii) 1 से 10 तक के पत्तों में से एक, सम संख्या।

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, n(S) = 10
E = {2, 4, 6, 8, 10}, n(E) = 5
P(सम) = 5/10 = 1/2 = 0.5

(iii) पासा, 4 से बड़ी संख्या।

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
E = {5, 6}, n(E) = 2
P(4 से बड़ी) = 2/6 = 1/3 ≈ 0.333

(iv) 3 लाल, 2 नीली, 1 हरी — लाल नहीं। गेंदों को नाम दीजिए जिससे छहों समप्रायिक हो जाएँ —

S = {ला₁, ला₂, ला₃, नी₁, नी₂, ह}, n(S) = 6
E = 'लाल नहीं' = {नी₁, नी₂, ह}, n(E) = 3
P(लाल नहीं) = 3/6 = 1/2 = 0.5

पूरक से जाँच — P(लाल) = 3/6 = 1/2, अतः P(लाल नहीं) = 1 − 1/2 = 1/2 ✓

(v) तीन सिक्के, ठीक दो चित। प्रत्येक सिक्का सूची को दुगुना करता है, अतः n(S) = 2 × 2 × 2 = 8.

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}, n(S) = 8
E = 'ठीक दो चित' = {HHT, HTH, THH}, n(E) = 3
P(ठीक दो चित) = 3/8 = 0.375

ऐसा क्यों होता है: हर भाग में विधि एक ही है — पहले ऐसी सूची बनाइए जिसके तत्त्व समप्रायिक हों, फिर गिनिए। सावधानी सूची बनाने में लगती है। (iv) में रंग समप्रायिक नहीं हैं, अतः पहले गेंदों को नाम दिया गया; (v) में 'ठीक दो चित' को उन तीन क्रमों में बाँटना पड़ा जिनमें वह घट सकती है, क्योंकि HHT, HTH और THH प्रयोग के तीन अलग परिणाम हैं, भले ही शब्दों में एक-से लगते हों।

संकेत: (i) का 'कम-से-कम एक' और (iv) का 'लाल नहीं' — दोनों पूरक नियम P(E नहीं) = 1 − P(E) से सरल हो जाते हैं। तीन सिक्कों के साथ 'कम-से-कम एक चित' = 1 − P(TTT) = 1 − 1/8 = 7/8 — सात परिणाम लिखने के स्थान पर एक पंक्ति।

प्र5.

एक थैली में 3 टॉफियाँ हैं— स्ट्रॉबेरी, नींबू और पुदीना। एक टॉफी यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। स्ट्रॉबेरी टॉफी निकालने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर

S = {स्ट्रॉबेरी, नींबू, पुदीना}, n(S) = 3
E = {स्ट्रॉबेरी}, n(E) = 1
P(स्ट्रॉबेरी) = 1/3 ≈ 0.333 अथवा लगभग 33.3%

ऐसा क्यों होता है: यहाँ — इसी प्रश्नावली के रंगीन गेंदों वाले प्रश्नों के विपरीत — प्रत्येक प्रकार की ठीक एक टॉफी है, अतः तीनों परिणाम वास्तव में समप्रायिक हैं और 1/3 ईमानदार उत्तर है। 'यादृच्छिक रूप से' शब्द ही इसकी गारंटी है — कोई टॉफी दूसरी से अधिक सुलभ नहीं है।

संकेत: थैली बदलकर 3 स्ट्रॉबेरी, 1 नींबू और 1 पुदीना कर दीजिए तो उत्तर 3/5 हो जाएगा, 1/3 नहीं — यद्यपि स्वाद अब भी तीन ही हैं। टॉफियाँ गिनिए, नाम नहीं।

प्र6.

एक बच्चे के पास 2 कमीजें (एक लाल और एक नीला) और 3 प्रकार की पतलूनें (जींस, खाकी और शॉर्ट्स) हैं। एक कमीज और एक पतलून मिलकर बनने वाली पोषाक के सभी संभव संयोजनों को सूचीबद्ध कीजिए। अपने उत्तर को सारणी रूप में प्रस्तुत कीजिए।

उत्तर

प्रत्येक कमीज हर पतलून के साथ पहनी जा सकती है, अतः 2 × 3 = 6 पोषाकें बनेंगी।

कमीज \ पतलून	जींस	खाकी	शॉर्ट्स
लाल	लाल + जींस	लाल + खाकी	लाल + शॉर्ट्स
नीली	नीली + जींस	नीली + खाकी	नीली + शॉर्ट्स

S = {(लाल, जींस), (लाल, खाकी), (लाल, शॉर्ट्स),
(नीली, जींस), (नीली, खाकी), (नीली, शॉर्ट्स)}
n(S) = 2 × 3 = 6

ऐसा क्यों होता है: दोनों चयन साथ-साथ होते हैं, एक के बदले दूसरा नहीं, अतः संख्याएँ गुणा होती हैं। सारणी की प्रत्येक पंक्ति एक कमीज को तीनों पतलूनों के साथ जोड़ती है; तीन-तीन खानों की दो पंक्तियाँ छह खाने देती हैं। यही गुणा प्रश्नावली 7.3 में पासे-सिक्के के 6 परिणाम और चित्र 7.6 में दो उछालों के 4 परिणाम देता है।

संकेत: यदि बच्चा यादृच्छिक रूप से कपड़े पहने तो प्रत्येक खाने की प्रायिकता 1/6 होगी, अतः P(शॉर्ट्स पहनना) = 2/6 = 1/3 — अर्थात शॉर्ट्स वाला पूरा स्तंभ। सारणी एक आयत में फैली हुई प्रतिदर्श समष्टि ही है।

प्र7.

एक टायर कंपनी 1000 मामलों में प्रतिस्थापन (रिप्लेसमेंट) से पूर्व दूरियों को अभिलेखित करती है— दूरी (किमी): 4000 से कम — 20 मामले; 4001 से 9000 — 210 मामले; 9001 से 14000 — 325 मामले; 14000 से अधिक — 445 मामले। यादृच्छिक चयनित टायर की आयु की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जब दूरी— (i) 4000 किलोमीटर से कम हो। (ii) 4000 से 14000 किलोमीटर के मध्य हो। (iii) 14000 किलोमीटर से अधिक हो।

उत्तर

कुल मामले — 20 + 210 + 325 + 445 = 1000 ✓ अतः प्रत्येक प्रायिकता = (उस वर्ग के मामले) ÷ 1000.

दूरी (किमी)	4000 से कम	4001 से 9000	9001 से 14000	14000 से अधिक
मामलों की संख्या	20	210	325	445
प्रायिकता	0.02	0.21	0.325	0.445

(i)

P(4000 किमी से कम) = 20/1000 = 1/50 = 0.02 अथवा 2%

(ii) '4000 से 14000 के मध्य' में बीच के दोनों वर्ग आते हैं —

अनुकूल मामले = 210 + 325 = 535
P = 535/1000 = 107/200 = 0.535 अथवा 53.5%

(iii)

P(14000 किमी से अधिक) = 445/1000 = 89/200 = 0.445 अथवा 44.5%

जाँच — 0.02 + 0.535 + 0.445 = 1 ✓ अर्थात तीनों उत्तर मिलकर हजारों मामलों को ठीक एक-एक बार समेट लेते हैं।

ऐसा क्यों होता है: ये प्रायोगिक प्रायिकताएँ हैं जो वास्तविक अभिलेखों से पढ़ी गई हैं, सैद्धांतिक नहीं। चारों दूरी-वर्गों में कोई सममिति नहीं है — टायर का 14000 किमी से अधिक चलना, 4000 किमी से पहले खराब होने की तुलना में कहीं अधिक संभावित है — अतः संख्याएँ आँकड़ों से ही आनी चाहिए। 1000 से भाग देने का आधार यह है कि हजार में से एक मामला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, अतः प्रत्येक अभिलिखित मामला समप्रायिक है।

संकेत: मुद्रित वर्ग '4000 से कम' और '4001 से 9000' हैं, अतः ठीक 4000 किमी चलने वाला टायर किसी वर्ग में नहीं आता। सारणी दूरियों को पूर्ण किलोमीटर में लेती है और भाग (ii) बीच के दोनों वर्गों के विषय में पूछता है — इसी से 535 आता है। अपनी सारणियों में वर्ग ऐसे बनाइए कि कोई अंतराल न छूटे।

प्र8.

‘PEACE’ शब्द के अक्षरों को पत्तों पर लिखा गया है। लीला बिना देखे एक पत्ता निकालती है— (i) इसके P, E या C होने की प्रायिकता क्या है? (ii) इसके E न होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर

PEACE में 5 अक्षर हैं, अतः 5 पत्ते हैं — P, E, A, C, E. प्रत्येक पत्ता समप्रायिक है, अतः n(S) = 5. ध्यान दीजिए कि E दो पत्तों पर है।

अक्षर	P	E	A	C
पत्तों की संख्या	1	2	1	1
प्रायिकता	1/5	2/5	1/5	1/5

(i) अनुकूल पत्ते — P (1 पत्ता), E (2 पत्ते) और C (1 पत्ता)।

n(E) = 1 + 2 + 1 = 4
P(P, E या C) = 4/5 = 0.8 अथवा 80%

(ii) जो पत्ते E नहीं हैं, वे P, A और C हैं।

n(E नहीं) = 5 − 2 = 3
P(E नहीं) = 3/5 = 0.6 अथवा 60%
जाँच — P(E) + P(E नहीं) = 2/5 + 3/5 = 1 ✓

ऐसा क्यों होता है: दोहराया गया E ही इस शब्द को चुनने का कारण है। भिन्न अक्षर 4 हैं परंतु पत्ते 5 हैं, और यादृच्छिक रूप से पत्ते ही निकाले जाते हैं, इसलिए समप्रायिक भी वे ही हैं। (i) का उत्तर 3/4 देना — चार भिन्न अक्षरों में से तीन — इस तथ्य की उपेक्षा करता है कि दूसरा E भी एक वास्तविक पत्ता है जिसे लीला निकाल सकती है।

संकेत: भाग (ii) पूरक नियम से शीघ्र हल होता है — P(E नहीं) = 1 − P(E) = 1 − 2/5 = 3/5. यह भी देखिए कि (i) और (ii) संबंधित तो हैं, पर 'P, E या C' और 'E नहीं' परस्पर पूरक नहीं हैं, अतः एक से दूसरा नहीं निकाला जा सकता।

प्र9.

*संयोग के एक खेल में एक तीर घूमता है (आकृति 7.7 देखिए), जो रुकने के पश्चात 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है और ये सभी परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित करेगा— (i) 8? (ii) एक विषम संख्या? (iii) 2 से बड़ी संख्या? (iv) 9 से छोटी संख्या? (v) 3 का एक गुणज?

उत्तर

चित्र 7.7 का चक्र 1 से 8 तक अंकित 8 बराबर त्रिज्यखंडों में बँटा है और प्रश्न बताता है कि ये समप्रायिक हैं। अतः S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} के साथ n(S) = 8, और प्रत्येक उत्तर = (कितने त्रिज्यखंड अनुकूल हैं) ÷ 8.

भाग	अनुकूल त्रिज्यखंड	संख्या	प्रायिकता
(i) 8	{8}	1	1/8 = 0.125
(ii) विषम संख्या	{1, 3, 5, 7}	4	4/8 = 1/2 = 0.5
(iii) 2 से बड़ी संख्या	{3, 4, 5, 6, 7, 8}	6	6/8 = 3/4 = 0.75
(iv) 9 से छोटी संख्या	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}	8	8/8 = 1
(v) 3 का गुणज	{3, 6}	2	2/8 = 1/4 = 0.25

(i) P(8) = 1/8
(ii) P(विषम) = 4/8 = 1/2
(iii) P(> 2) = 6/8 = 3/4
(iv) P(< 9) = 8/8 = 1
(v) P(3 का गुणज) = 2/8 = 1/4

ऐसा क्यों होता है: त्रिज्यखंड बराबर आकार के हैं और यही वह भौतिक कारण है जिससे आठों परिणाम समप्रायिक हैं — तीर के रुकने के लिए हर त्रिज्यखंड में उतनी ही जगह है। भाग (iv) विशेष रूप से रोचक है — चक्र की हर संख्या 9 से छोटी है, अतः घटना पूरी प्रतिदर्श समष्टि है और P = 1, अर्थात निश्चित घटना। भाग (iii) में असमिका को कठोरता से पढ़िए — '2 से बड़ी' में 2 सम्मिलित नहीं है, अतः 6 त्रिज्यखंड हैं, 7 नहीं।

संकेत: (v) में 9 भी 3 का गुणज है परंतु इस चक्र पर है ही नहीं, और 1 तथा 2, 3 के गुणज नहीं हैं — केवल 3 और 6 अनुकूल हैं। गिनने से पहले विवरण को प्रतिदर्श समष्टि से मिलाइए।

प्र10.

*एक टोकरी में 4 लाल और 5 नीले रंग की गेंदें हैं। एक गेंद निकाली जाती है और अलग रख दी जाती है, इसके पश्चात दूसरी गेंद निकाली जाती है। संभावित परिणामों और प्रायिकता को दर्शाने के लिए एक वृक्ष आरेख खींचिए। वृक्ष आरेख का उपयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए— (i) एक लाल और उसके पश्चात एक नीले रंग की गेंद को निकालने की प्रायिकता क्या है? (ii) 2 नीली गेंदें निकालने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर

टोकरी में आरंभ में 4 + 5 = 9 गेंदें हैं। पहली गेंद अलग रख दी जाती है, अतः दूसरी निकासी के लिए केवल 8 गेंदें बचती हैं — और कौन-सा रंग कम हुआ, यह पहली निकासी पर निर्भर है। वृक्ष का दूसरा चरण यही दर्ज करता है।

बिना प्रतिस्थापन के निकालना—दूसरे चरण के हरों में 8 है, क्योंकि एक गेंद पहले ही अलग रखी जा चुकी है।

(i) पहले लाल, फिर नीली। उसी पथ पर गुणा कीजिए —

P(पहले लाल) = 4/9
P(फिर नीली) = 5/8 (5 नीली शेष, कुल 8 गेंदें)
P(लाल फिर नीली) = 4/9 × 5/8 = 20/72
= 5/18 ≈ 0.278

(ii) दोनों नीली।

P(पहले नीली) = 5/9
P(फिर नीली) = 4/8 (8 में से केवल 4 नीली शेष)
P(दोनों नीली) = 5/9 × 4/8 = 20/72
= 5/18 ≈ 0.278

पथ	गणना	प्रायिकता
लाल, लाल	4/9 × 3/8 = 12/72	1/6
लाल, नीली	4/9 × 5/8 = 20/72	5/18
नीली, लाल	5/9 × 4/8 = 20/72	5/18
नीली, नीली	5/9 × 4/8 = 20/72	5/18
कुल	(12 + 20 + 20 + 20)/72 = 72/72	1

ऐसा क्यों होता है: दोनों निकासियाँ स्वतंत्र नहीं हैं। एक गेंद हटाने से कुल संख्या भी बदलती है और उस रंग की संख्या भी, अतः दूसरे चरण की सभी भिन्नों का हर 8 है और अंश इस पर निर्भर है कि आप किस शाखा से आए। इसकी तुलना प्रश्नावली 7.4 के प्र. 2 से कीजिए, जहाँ पेन वापस रख दिया गया था और दोनों चरणों का हर 9 था — प्रतिस्थापन ही तय करता है कि द्वि-चरणीय वृक्ष स्वयं को दोहराएगा या नहीं।

स्वयं जाँचिए: चारों पत्तियों की प्रायिकताओं का योग 1 है, जो वृक्ष के पूर्ण होने की मानक जाँच है। ध्यान दीजिए कि 'लाल फिर नीली' और 'नीली फिर लाल' दोनों 5/18 आते हैं, यद्यपि शाखाओं की भिन्नें अलग हैं — 4/9 × 5/8 और 5/9 × 4/8 एक ही गुणनफल के दो रूप हैं।

प्र11.

*मैंने षट्फलकीय पासे के एक युग्म को फेंका। एक ऐसी घटना लिखिए, जिसकी प्रायिकता 0 हो और एक ऐसा परिणाम लिखिए, जिसकी प्रायिकता 1 हो।

उत्तर

दो पासे फेंकने पर n(S) = 6 × 6 = 36 समप्रायिक परिणाम बनते हैं और संभावित योग 2 से 12 तक होते हैं।

प्रायिकता 0 वाली घटना — कोई भी ऐसी बात जो घट ही नहीं सकती —

E = 'दोनों पासों का योग 1 है'
a, b ≥ 1 वाला कोई युग्म (a, b) 1 नहीं देता, अतः n(E) = 0
P(E) = 0/36 = 0

अन्य सही उत्तर — 'योग 13 है', 'किसी पासे पर 7 आता है', 'दोनों पासों पर समान संख्या हो और योग विषम हो'।

प्रायिकता 1 वाली घटना — कोई भी ऐसी बात जो घटनी ही है —

F = 'योग 2 और 12 के बीच है (दोनों सम्मिलित)'
छत्तीसों परिणाम इसे संतुष्ट करते हैं, अतः n(F) = 36
P(F) = 36/36 = 1

अन्य सही उत्तर — 'प्रत्येक पासा 1 से 6 तक की कोई पूर्ण संख्या दिखाता है', 'योग कम-से-कम 2 है'।

ऐसा क्यों होता है: P = 0 और P = 1 पैमाने के दोनों सिरे हैं और वे घटनाओं का वर्णन करते हैं, भाग्य का नहीं। असंभव घटना का अनुकूल समुच्चय रिक्त होता है; निश्चित घटना का अनुकूल समुच्चय पूरी प्रतिदर्श समष्टि होती है। दो पासों की हर वास्तविक बात इन्हीं के बीच है — सबसे अधिक आने वाला योग 7 भी केवल 6/36 = 1/6 प्रायिकता रखता है।

संकेत: प्रश्न में "एक ऐसा परिणाम जिसकी प्रायिकता 1 हो" लिखा है, परंतु कठोर अर्थ में इस प्रयोग के किसी भी एकल परिणाम की प्रायिकता 1 नहीं हो सकती — 36 में से प्रत्येक युग्म की प्रायिकता 1/36 है। प्रायिकता 1 केवल निश्चित घटना की होती है, जैसा ऊपर लिखा है। इसे 'ऐसा फल जो होना ही है' के अर्थ में पढ़िए।

प्र12.

*नीचे दी गई सूचना के आधार पर प्रतिदर्श समष्टि लिखिए और प्रायिकता की गणना कीजिए— (i) दो पासे फेंके गए। इसकी क्या प्रायिकता है कि प्राप्त अंकों का योग 5 से बड़ी अभाज्य संख्या हो? (ii) एक थैले में 4 लाल, 3 हरे और 2 नीले रंग की गेंदें हैं। दो गेंदों को बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदों के रंग भिन्न हैं? (iii) तीन सिक्कों को उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहला सिक्का चित प्रदर्शित करता हो और कुल मिलाकर दो चित प्राप्त हों? (iv) 1, 2, 3 और 4 संख्याओं को बिना पुनरावृत्ति के उपयोग करके एक 4-अंकीय संख्या बनाई गई है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संख्या सम है? (v) एक विद्यार्थी 3 प्रश्नों की एक बहु-विकल्पीय परीक्षा में सम्मिलित होता है, जहाँ प्रत्येक प्रश्न के 4 विकल्प (A, B, C, D) हैं और उनमें से केवल एक विकल्प सही है। इसकी क्या प्रायिकता है कि विद्यार्थी अनुमान लगाकर 2 सही उत्तर प्राप्त करे?

उत्तर

(i) दो पासे, योग 5 से बड़ी अभाज्य संख्या। प्रतिदर्श समष्टि सभी क्रमित युग्मों की है, n(S) = 6 × 6 = 36. संभावित योग 2 से 12 हैं; उनमें अभाज्य 2, 3, 5, 7, 11 हैं और 5 से बड़े 7 और 11 हैं।

36 समप्रायिक योग। 6 गुलाबी खाने योग 7 के हैं और 2 हरे खाने योग 11 के—कुल मिलाकर 36 में से 8.

योग 7 — (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 परिणाम
योग 11 — (5,6), (6,5) → 2 परिणाम
n(E) = 6 + 2 = 8
P = 8/36 = 2/9 ≈ 0.222

(ii) 4 लाल, 3 हरी, 2 नीली में से दो गेंदें — भिन्न रंग। कुल 9 गेंदें; बिना प्रतिस्थापन दो निकालने पर

n(S) = ⁹C₂ = (9 × 8)/2 = 36 समप्रायिक युग्म
समान रंग — लाल ⁴C₂ = 6, हरी ³C₂ = 3, नीली ²C₂ = 1
n(समान) = 6 + 3 + 1 = 10, अतः P(समान) = 10/36 = 5/18
P(भिन्न) = 1 − 5/18 = 13/18 ≈ 0.722

C के संकेत के बिना सीधे गिनिए — 4×3 (लाल-हरी) + 4×2 (लाल-नीली) + 3×2 (हरी-नीली) = 12 + 8 + 6 = 26 भिन्न-रंग युग्म, और 26/36 = 13/18 ✓

(iii) तीन सिक्के — पहला चित और कुल मिलाकर ठीक दो चित।

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}, n(S) = 8
पहला H और ठीक दो चित — HHT, HTH → n(E) = 2
P = 2/8 = 1/4 = 0.25

ध्यान दीजिए कि THH में ठीक दो चित तो हैं, पर पहली शर्त पूरी नहीं होती, अतः वह नहीं गिना जाता।

(iv) 1, 2, 3, 4 से बिना पुनरावृत्ति बनी 4-अंकीय संख्याएँ — सम।

n(S) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 संख्याएँ
सम होने के लिए इकाई का अंक 2 या 4 होना चाहिए → 2 विकल्प
शेष तीन अंक 3! = 6 प्रकार से सजाए जा सकते हैं
n(E) = 2 × 6 = 12
P(सम) = 12/24 = 1/2 = 0.5

(v) 3 बहु-विकल्पीय प्रश्न, अनुमान से ठीक 2 सही। प्रत्येक प्रश्न के 4 विकल्प हैं, अतः

n(S) = 4 × 4 × 4 = 64 समप्रायिक उत्तर-पत्रक
तीन में से कौन-से 2 प्रश्न सही हैं — 3 प्रकार से
प्रत्येक सही प्रश्न — 1 प्रकार; गलत प्रश्न — 3 गलत विकल्प
n(E) = 3 × 1 × 1 × 3 = 9
P(ठीक 2 सही) = 9/64 ≈ 0.141 अथवा लगभग 14%

ऐसा क्यों होता है: हर भाग में वही अनुशासन है — पहले समप्रायिक परिणामों की सूची बनाइए, फिर गिनिए। (i) में युग्म क्रमित होने चाहिए, क्योंकि (1,6) और (6,1) दो अलग फेंक हैं; यदि 2 से 12 तक के 11 योगों को ही प्रतिदर्श समष्टि मान लें तो गलत उत्तर 2/11 आएगा। (ii) में युग्म अक्रमित हैं, क्योंकि दोनों गेंदें साथ निकलती हैं; पूरक इसलिए लिया गया कि समान रंग की गिनती छोटी है। (iv) में शर्त इकाई के अंक पर है, अतः पहले वही तय किया गया और शेष स्वतंत्र रूप से सजाए गए। (v) में गलत उत्तर का स्थान भी मायने रखता है, इसीलिए 3 का गुणक आता है।

संकेत: (iv) के उत्तर 1/2 का एक सुंदर कारण है। चार अंकों में दो सम और दो विषम हैं, और 24 व्यवस्थाओं में प्रत्येक अंक के इकाई स्थान पर आने की संभावना समान है — अतः ठीक आधी संख्याओं के अंत में सम अंक होगा।

प्र13.

*एक बक्से में 4 गेंदें हैं जिन पर 1 से 4 तक अंक लिखे हैं। निम्नलिखित प्रयोगों के लिए वृक्ष आरेख का उपयोग करते हुए एक प्रतिदर्श समष्टि लिखिए— (i) एक गेंद निकाली जाती है और उस पर लिखित अंक को एक कागज पर लिख लिया जाता है। तत्पश्चात गेंद को वापस बक्से में रख दिया जाता है और एक दूसरी गेंद निकाली जाती है और उस पर लिखित अंक को लिख लिया जाता है। (ii) एक गेंद निकाली जाती है और लिख ली जाती है। पहली गेंद के बिना प्रतिस्थापन के परीक्षक दूसरी गेंद निकालता है और उसे लिख लेता है। (iii) इन दोनों प्रतिदर्श समष्टियों के आकार क्या हैं?

उत्तर

(i) प्रतिस्थापन के साथ। गेंद वापस चली जाती है, अतः दूसरी निकासी में भी चारों अंक उपलब्ध हैं — 4 शाखाएँ, और प्रत्येक से आगे 4 शाखाएँ।

प्रतिस्थापन के साथ—पहली संख्या के बाद चारों में से कोई भी संख्या आ सकती है, अतः n(S) = 4 × 4 = 16.

S₁ = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}

(ii) बिना प्रतिस्थापन के। पहली गेंद बाहर ही रहती है, अतः पहला अंक दोबारा नहीं आ सकता — चारों शाखाएँ आगे केवल 3-3 भागों में बँटती हैं।

बिना प्रतिस्थापन के—पहली संख्या दोहराई नहीं जा सकती, अतः प्रत्येक शाखा केवल 3 भागों में बँटती है और n(S) = 4 × 3 = 12.

S₂ = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
(3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}

(iii) आकार।

n(S₁) = 4 × 4 = 16
n(S₂) = 4 × 3 = 12
अंतर = 4, अर्थात ठीक वे चार पुनरावृत्तियाँ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)

ऐसा क्यों होता है: प्रतिस्थापन ही तय करता है कि वृक्ष का दूसरा चरण कितना चौड़ा होगा। गेंद वापस रखने पर बक्सा अपरिवर्तित रहता है, अतः दूसरी निकासी में भी वही 4 विकल्प हैं — और (क, क) प्रकार के युग्म संभव हैं। गेंद बाहर रखने पर एक विकल्प समाप्त हो जाता है, अतः दूसरी निकासी में 3 विकल्प बचते हैं और कोई युग्म अंक दोहरा नहीं सकता। छूटे हुए चार परिणाम ठीक वही चार पुनरावृत्तियाँ हैं, इसीलिए 16 − 12 = 4.

संकेत: दोनों सूचियों में क्रम महत्त्वपूर्ण है — (1,2) का अर्थ पहले 1 फिर 2 है, जबकि (2,1) उल्टा है, और दोनों वृक्ष की अलग-अलग पत्तियाँ हैं। यदि प्रश्न केवल यह पूछता कि कौन-से दो अंक निकले, क्रम की चिंता किए बिना, तो S₂ घटकर 12 ÷ 2 = 6 अक्रमित युग्मों की रह जाती।

प्र14.

*एक सिक्का उछालने और 1 से 6 तक संख्यांकित ताश के 6 पत्तों के समूह से एक पत्ता निकालने का प्रयोग एक साथ करने के लिए एक प्रतिदर्श समष्टि के तत्त्वों को सूचीबद्ध कीजिए।

उत्तर

सिक्के से 2 परिणाम और पत्तों से 6 परिणाम मिलते हैं, और दोनों एक साथ होते हैं, अतः सिक्के के प्रत्येक परिणाम को हर पत्ते के साथ जोड़िए।

S = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6),
(T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}
n(S) = 2 × 6 = 12

सिक्का \ पत्ता	1	2	3	4	5	6
H	(H, 1)	(H, 2)	(H, 3)	(H, 4)	(H, 5)	(H, 6)
T	(T, 1)	(T, 2)	(T, 3)	(T, 4)	(T, 5)	(T, 6)

ऐसा क्यों होता है: सिक्के का परिणाम पत्ते को प्रभावित नहीं करता और पत्ता सिक्के को, अतः कोई संयोजन असंभव नहीं है और किसी को वरीयता भी नहीं — बारहों परिणाम समप्रायिक हैं, प्रत्येक 1/12. यह वही सूची है जो प्रश्नावली 7.3 के प्र. 2(i) में बनी थी, जहाँ छह पत्तों के स्थान पर पासा था — इससे स्पष्ट है कि संरचना महत्त्वपूर्ण है, सामग्री नहीं।

संकेत: इसी प्रतिदर्श समष्टि से संयुक्त प्रश्न भी तुरंत हल हो जाते हैं। P(चित और सम पत्ता) = |{(H,2), (H,4), (H,6)}| / 12 = 3/12 = 1/4, जो 1/2 × 1/2 भी है — अर्थात द्वि-चरणीय पथ पर गुणा।

प्र15.

*तीन सिक्कों को उछाला जाता है और चित आने की संख्या को अंकित किया जाता है। निम्नलिखित में कौन-सा समुच्चय इस प्रयोग के लिए एक प्रतिदर्श समष्टि है? अन्य समुच्चय, प्रतिदर्श समष्टि के रूप में योग्य क्यों नहीं माने जाते हैं— (i) {1, 2, 3} (ii) {0, 1, 2} (iii) {0, 1, 2, 3, 4} (iv) {0, 1, 2, 3}

उत्तर

प्रतिदर्श समष्टि (iv) {0, 1, 2, 3} है। तीन सिक्कों में चित की संख्या 0, 1, 2 या 3 हो सकती है — और कुछ नहीं।

समुच्चय	वैध?	दोष क्या है
(i) {1, 2, 3}	नहीं	0 छूट गया है। TTT प्रयोग का वास्तविक परिणाम है और उसके लिए कोई तत्त्व बचता ही नहीं।
(ii) {0, 1, 2}	नहीं	3 छूट गया है। HHH घट सकता है, अतः सूची अपूर्ण है।
(iii) {0, 1, 2, 3, 4}	नहीं	इसमें 4 है, जो असंभव है — सिक्के केवल तीन हैं, अतः अधिक-से-अधिक तीन चित आ सकते हैं।
(iv) {0, 1, 2, 3}	हाँ	पूर्ण भी है और पुनरावृत्ति-रहित भी — तीन सिक्कों की हर उछाल इन्हीं चार में से ठीक एक गिनती देती है।

ऐसा क्यों होता है: प्रतिदर्श समष्टि को अनुभाग 7.3.1 के दोनों नियम एक साथ पूरे करने होते हैं — कुछ छूटे नहीं और जो घट ही नहीं सकता वह हो नहीं। (i) और (ii) पहला नियम तोड़ते हैं, (iii) दूसरा। असंभव परिणाम जोड़ना निर्दोष नहीं है — उसे प्रायिकता 0 मिलेगी और आपको 5 से भाग देने का लोभ होगा।

संकेत: {0, 1, 2, 3} सही प्रतिदर्श समष्टि तो है, परंतु उसके चारों तत्त्व समप्रायिक नहीं हैं, अतः P(2 चित) 1/4 नहीं है। आठ समप्रायिक परिणामों {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} पर लौटने से P(0) = 1/8, P(1) = 3/8, P(2) = 3/8, P(3) = 1/8 मिलता है, जिनका योग 1 है। वैध प्रतिदर्श समष्टि होना और गिनती के सूत्र के योग्य होना — ये दो अलग बातें हैं।

प्र16.

*मान लीजिए, आप यादृच्छिक रूप से चित्र 7.8 में दर्शाए अनुसार आयताकार क्षेत्र में रंग की एक बूँद गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता होगी कि यह बूँद 1 मीटर व्यास वाले वृत्त में गिरेगी?

उत्तर

चित्र 7.8 के अनुसार आयत 3 मी. × 2 मी. का है और वृत्त का व्यास 1 मी. है, अतः उसकी त्रिज्या 0.5 मी. है। यहाँ परिणाम बिंदु हैं, कोई गिनी जा सकने वाली सूची नहीं — इसलिए प्रायिकता क्षेत्रफल से मापी जाती है।

बूँद 6 मी.² के आयत में कहीं भी गिर सकती है; वह वृत्त में तभी गिरेगी जब π/4 मी.² क्षेत्रफल वाले चक्र पर गिरे।

आयत का क्षेत्रफल = 3 × 2 = 6 मी.²
वृत्त की त्रिज्या = 1/2 = 0.5 मी.
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = π × (1/2)² = π/4 मी.²

P(बूँद वृत्त में गिरे) = वृत्त का क्षेत्रफल / आयत का क्षेत्रफल
= (π/4) ÷ 6
= π/24
≈ 3.1416/24 ≈ 0.131 अथवा लगभग 13.1%

π ≈ 22/7 लेने पर (22/7)/24 = 22/168 = 11/84 ≈ 0.131 — तीन दशमलव स्थानों तक वही उत्तर।

ऐसा क्यों होता है: यहाँ 'यादृच्छिक रूप से' का अर्थ है कि आयत का प्रत्येक बिंदु समप्रायिक है और किसी भाग को वरीयता नहीं है। इस मान्यता के अंतर्गत किसी भाग में गिरने की संभावना उसके क्षेत्रफल के अनुपात में होती है — अतः गिनती का सूत्र n(A)/n(S) यहाँ क्षेत्रफल(A)/क्षेत्रफल(S) बन जाता है। वृत्त आयत के आठवें भाग से भी कम घेरता है, और उत्तर यही कहता है।

संकेत: जब तक वृत्त पूरी तरह आयत के भीतर है, उसे कहीं भी रखिए, उत्तर π/24 ही रहेगा — केवल क्षेत्रफल मायने रखते हैं, स्थिति नहीं। यह भी देखिए कि वृत्त का व्यास आयत की लंबाई का तिहाई है, फिर भी वह लगभग 13% ही घेरता है — क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के अनुपात में घटता है।

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