कक्षा ९ गणित अध्याय 7 प्रश्नावली 7.4 के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
A और B फलों की दो टोकरियाँ हैं। टोकरी A में एक सेब और दो संतरे हैं। टोकरी B में एक केला और एक आम है। आप यादृच्छिक रूप से प्रत्येक टोकरी से एक फल निकालते हैं— (i) फलों के सभी संभावित युग्मों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींचिए। (ii) प्रतिदर्श समष्टि को सूचीबद्ध कीजिए। (iii) एक सेब और एक केला निकालने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर
(i) टोकरी A में 3 फल हैं, अतः पहले चरण में तीन शाखाएँ होंगी; दोनों संतरों को अलग-अलग नाम दीजिए जिससे तीनों समप्रायिक रहें। टोकरी B में 2 फल हैं, अतः प्रत्येक शाखा आगे दो भागों में बँटेगी।
टोकरी A में 3 फल और टोकरी B में 2 फल हैं, अतः वृक्ष आरेख 3 × 2 = 6 समप्रायिक युग्मों पर समाप्त होता है।
(ii) छह पत्तियों को पढ़ने पर —
S = {(सेब, केला), (सेब, आम), (संतरा 1, केला), (संतरा 1, आम), (संतरा 2, केला), (संतरा 2, आम)} n(S) = 3 × 2 = 6, प्रत्येक की प्रायिकता 1/6
(iii) ठीक एक पत्ती अनुकूल है —
P(सेब और केला) = 1/6 ≈ 0.167 अथवा उसी पथ पर गुणा करके — 1/3 × 1/2 = 1/6 ✓
ऐसा क्यों होता है: दोनों संतरों को अलग रखना आवश्यक है। यदि आप प्रतिदर्श समष्टि प्रकार के अनुसार लिखें — {(सेब, केला), (सेब, आम), (संतरा, केला), (संतरा, आम)} — तो चार परिणाम मिलेंगे और भाग देने पर गलत उत्तर 1/4 आएगा। ये चारों समप्रायिक नहीं हैं — टोकरी A से संतरा निकलने की प्रायिकता 2/3 है जबकि सेब निकलने की केवल 1/3, क्योंकि संतरे दो हैं और सेब एक। 'संतरा 1' और 'संतरा 2' लिखते ही समप्रायिकता लौट आती है और तभी पत्तियाँ गिनना वैध होता है।
स्वयं जाँचिए: छहों पत्तियों की प्रायिकताएँ जोड़िए — 6 × 1/6 = 1. अब प्रकार के अनुसार समूहित कीजिए — (सेब, ·) का योग 2/6 = 1/3 और (संतरा, ·) का योग 4/6 = 2/3, जो टोकरी के 1 सेब और 2 संतरों से ठीक मेल खाता है। वृक्ष और टोकरी दोनों एक ही बात कह रहे हैं।
प्र2.
मान लीजिए, आपके पास एक बक्सा है जिसमें 3 लाल पेन, 4 काले पेन और 2 हरे पेन हैं। आपने बक्से में बिना देखे एक पेन निकाला और वापस उसी में रख दिया। अब आपका मित्र भी इसी कार्य को दोहराता है। (i) पेन के रंगों के संभावित परिणाम क्या हैं? क्या आप संभावित परिणामों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींच सकते हैं? (ii) क्या आप वृक्ष आरेख का उपयोग कर अनुमान लगा सकते हैं कि आप और आपके मित्र द्वारा एक ही रंग के पेन निकालने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर
बक्से में 3 + 4 + 2 = 9 पेन हैं। चूँकि पेन वापस रख दिया जाता है, आपके मित्र की बारी में बक्सा वैसा ही रहता है, अतः दोनों चरणों की शाखाओं की प्रायिकताएँ समान हैं — लाल 3/9, काला 4/9, हरा 2/9.
(i) प्रत्येक चरण में तीन रंग, अतः 3 × 3 = 9 क्रमित रंग-युग्म —
ऐसा क्यों होता है: एक ही पथ की शाखाएँ एक के बाद एक घटित होती हैं, अतः उनकी प्रायिकताएँ गुणा होती हैं; अलग-अलग पथ विकल्प हैं, अतः उनकी प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं। प्रतिस्थापन के कारण ही दूसरे चरण की भिन्नें पहले चरण जैसी हैं — मित्र उसी बक्से से निकालता है जिससे आपने निकाला था। यदि आप पेन अपने पास रख लेते तो दूसरे चरण का हर 8 होता और काला-फिर-काला 4/9 × 3/8 होता।
स्वयं जाँचिए: नौ पथों की प्रायिकताओं का योग 81/81 = 1 है, और 29/81 + 52/81 = 1, अतः भिन्न रंग आना अधिक संभावित है। अकेले सबसे संभावित मिलान काला है (16/81), केवल इसलिए कि काले पेन सबसे अधिक हैं।
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