कक्षा ९ गणित अध्याय 8 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान (2026-27)

प्र1.

प्रश्न — अनुक्रम 1, 4, 7, 10, 13, ... पर विचार कीजिए। क्या आप आगामी चार पदों का पूर्वानुमान लगा सकते हैं? क्या आप इस अनुक्रम में दिए गए पद तक आने वाले सभी पदों का योग करने पर प्राप्त अनुक्रम के पहले 10 पद बता सकते हैं? (संकेत — प्रथम पद 1 है। दूसरा पद 1 + 4 = 5 है, तीसरा पद 1 + 4 + 7 = 12 है और आगे भी इसी प्रकार पद प्राप्त किए जा सकते हैं।)

उत्तर

क्रमागत पदों के बीच अंतर अचर 3 है, अत: आगामी चार पद 16, 19, 22, 25 हैं।

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, …
nवाँ पद: t_n = 1 + (n – 1) × 3 = 3n – 2

अब क्रमिक योग बनाइए। प्रथम दस पद 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 लेकर एक-एक करके जोड़िए:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1, 4, 7, … का पद	1	4	7	10	13	16	19	22	25	28
क्रमिक योग S_n	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145

अत: अभीष्ट अनुक्रम 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145 है।

ऐसा क्यों होता है: नए अनुक्रम के अंतर 4, 7, 10, 13, … हैं — अर्थात मूल अनुक्रम ही, दूसरे पद से आगे। क्रमिक योग यही करता है: S_n–1 से S_n तक की छलाँग ठीक वही पद है, जिसे आपने अभी जोड़ा। चूँकि ये अंतर स्वयं अचर 3 से बढ़ते हैं, योगों का अनुक्रम और भी तेज़ी से बढ़ता है, और वह समानांतर श्रेढ़ी नहीं है, यद्यपि जिस अनुक्रम से वह बना है वह समानांतर श्रेढ़ी है।

क्या आप जानते हैं? 1, 5, 12, 22, 35, 51, … पंचभुजाकार संख्याएँ कहलाती हैं। इनका nवाँ पद n(3n – 1)/2 है — n = 4 के लिए जाँचिए: 4 × 11 ÷ 2 = 22।

प्र2.

प्रश्न — क्या आप त्रिभुजाकार संख्याओं के अनुक्रम हेतु t5, t6, t7 और t8 लिख सकते हैं?

उत्तर

त्रिभुजाकार संख्याएँ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, … हैं, अत:

t₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
t₆ = 15 + 6 = 21
t₇ = 21 + 7 = 28
t₈ = 28 + 8 = 36

यही मान व्यापक सूत्र t_n = n(n + 1)/2 से भी सीधे मिल जाते हैं:

t₅ = (5 × 6)/2 = 15 t₆ = (6 × 7)/2 = 21
t₇ = (7 × 8)/2 = 28 t₈ = (8 × 9)/2 = 36

ऐसा क्यों होता है: t_n में नीचे लिखी संख्या स्थिति है, मान नहीं। t₇ = 28 लिखने का अर्थ है कि सातवीं त्रिभुजाकार संख्या 28 है — इससे संख्या 7 के विषय में कुछ नहीं कहा जा रहा। स्थिति और मान को अलग-अलग रखने से ही आगे चलकर t_n = 300 जैसे समीकरण हल करके स्थिति ज्ञात की जा सकती है।