प्र1.
किसी अनुक्रम के nवें पद हेतु व्यापक सूत्र होना क्यों उपयोगी है?
उत्तर
क्योंकि इससे किसी भी पद तक सीधे पहुँचा जा सकता है, उससे पहले के सभी पद ज्ञात किए बिना।
un = 2n – 1 से:
u300 = 2 × 300 – 1 = 599 — एक ही कदम में, 299 कदमों में नहीं
u300 = 2 × 300 – 1 = 599 — एक ही कदम में, 299 कदमों में नहीं
उल्टे प्रश्न का उत्तर भी इसी से सुविधापूर्वक मिलता है। "क्या 137 इस अनुक्रम में है, और कहाँ है?" पूछने पर बस समीकरण हल कीजिए:
2n – 1 = 137
2n = 138
n = 69 — अत: 137, 69वीं विषम संख्या है
2n = 138
n = 69 — अत: 137, 69वीं विषम संख्या है
ऐसा क्यों होता है: व्यापक सूत्र स्थिति का फलन है। चूँकि सूत्र में n अकेला आता है, n का मान रखना एक ही गणना है, और उसी सूत्र को n में समीकरण मानकर उल्टा भी पढ़ा जा सकता है। पुनरावर्ती सूत्र यह नहीं कर सकता: 300वें पद तक पहुँचने के लिए उसे पहले 299वाँ पद चाहिए, उसके लिए 298वाँ, और इसी प्रकार प्रारंभ तक।
संकेत: tn = k हल करने पर प्राप्त n को सदैव देखिए। केवल प्राकृत संख्या ही मान्य है — भिन्न या ऋणात्मक मान का अर्थ है कि k अनुक्रम का पद ही नहीं है।