प्र1.
[चित्र 8.6, वर्गों का बढ़ता हुआ प्रतिरूप 3, 6, 12, 24] क्या आप प्रतिरूप के चरण 5 और 6 में वर्गों की संख्या का पूर्वानुमान लगा सकते हैं? क्या आप चरण 10, 11 और 12 में वर्गों की संख्या का पूर्वानुमान लगा सकते हैं? क्या आप चरण 20 में वर्गों की संख्या का पूर्वानुमान लगा सकते हैं? ऊपर दिया गया प्रतिरूप चित्र 8.3 के बढ़ते प्रतिरूप से किस प्रकार भिन्न है?
उत्तर
चित्र 8.6 का प्रत्येक चरण 3 वर्ग चौड़ा आयत है, जिसकी ऊँचाई दोगुनी होती जाती है: 1, 2, 4, 8 पंक्तियाँ। अत: संख्याएँ नियत मात्रा से बढ़ने के बजाय दोगुनी होती हैं।
3, 6, 12, 24, 48, 96, …
t1 = 3, t2 = 3 × 2, t3 = 3 × 22, t4 = 3 × 23
tn = 3 × 2n–1
t1 = 3, t2 = 3 × 2, t3 = 3 × 22, t4 = 3 × 23
tn = 3 × 2n–1
| चरण | 5 | 6 | 10 | 11 | 12 | 20 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| वर्गों की संख्या | 48 | 96 | 1536 | 3072 | 6144 | 15,72,864 | 3 × 2n–1 |
चरण 10: 3 × 29 = 3 × 512 = 1536
चरण 20: 3 × 219 = 3 × 524288 = 15,72,864
चरण 20: 3 × 219 = 3 × 524288 = 15,72,864
चित्र 8.3 से भिन्नता:
| चित्र 8.3 | चित्र 8.6 | |
|---|---|---|
| एक चरण से अगले चरण तक | 4 जोड़िए | 2 से गुणा कीजिए |
| अनुक्रम | 1, 5, 9, 13, 17, … | 3, 6, 12, 24, 48, … |
| वर्णन करने वाला अचर | सार्व अंतर d = 4 | सार्व अनुपात r = 2 |
| nवाँ पद | 4n – 3 | 3 × 2n–1 |
| प्रकार | समानांतर श्रेढ़ी | गुणोत्तर श्रेढ़ी |
| चरण 20 पर | 77 | 15,72,864 |
ऐसा क्यों होता है: बार-बार जोड़ने पर n सूत्र में साधारण गुणक के रूप में आता है, अत: पद n के अनुपात में बढ़ते हैं। बार-बार गुणा करने पर n घातांक में चला जाता है, और घातांक चक्रवृद्धि की तरह काम करता है — प्रत्येक बार दोगुना करना उस पूरी राशि पर लगता है, जो अब तक इकट्ठी हुई है। यही कारण है कि चरण 4 पर मिलते-जुलते दिखने वाले दो प्रतिरूप (13 और 24) चरण 20 पर बहुत दूर हो जाते हैं (77 और पंद्रह लाख से अधिक)।
स्वयं जाँचिए: 3 × 2n–1 से n = 1 पर 3 आना चाहिए। और 20 = 1 है, अत: वही आता है।