प्र1.
सिएरपिंस्की त्रिभुज का अवलोकन कीजिए और नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयास कीजिए। (क) चित्र 8.7 में चरण 0 से चरण 3 तक कितने काले त्रिभुज हैं? (ख) क्या आप चरण 4 और चरण 5 में काले त्रिभुजों की संख्या का पूर्वानुमान लगा सकते हैं? (ग) क्या आप nवें चरण में काले त्रिभुजों की संख्या के लिए सूत्र ज्ञात कर सकते हैं? (घ) मान लीजिए चरण 0 में त्रिभुज का क्षेत्रफल (जो काला क्षेत्र है) 1 वर्ग इकाई है। चरण 1, 2 और 3 में काले क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है? चरण 4 और 5 में काले क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा? nवें चरण में काले क्षेत्र के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र ज्ञात कीजिए। चरणों की संख्या n के बढ़ने के साथ इस क्षेत्रफल में क्या अंतर आता है?
उत्तर
(क) चित्र 8.7 में काले त्रिभुज गिनिए:
चरण 0: 1 चरण 1: 3 चरण 2: 9 चरण 3: 27
(ख) प्रत्येक काला त्रिभुज अगले चरण में तीन छोटे काले त्रिभुजों से विस्थापित हो जाता है, अत: संख्या 3 गुनी हो जाती है।
चरण 4: 27 × 3 = 81 चरण 5: 81 × 3 = 243
(ग) संख्याएँ 1, 3, 9, 27, 81, 243, … एक गुणोत्तर श्रेढ़ी हैं, जिसका प्रथम पद 1 और सार्व अनुपात 3 है, और ये 3 की वे घातें हैं जिनका घातांक चरण-संख्या के बराबर है:
1 = 30, 3 = 31, 9 = 32, 27 = 33, 81 = 34, 243 = 35
चरण n में काले त्रिभुजों की संख्या = 3n
पुनरावर्ती रूप में: t0 = 1, tn = 3 × tn–1
चरण n में काले त्रिभुजों की संख्या = 3n
पुनरावर्ती रूप में: t0 = 1, tn = 3 × tn–1
(घ) प्रत्येक चरण में त्रिभुज 4 बराबर भागों में बाँटा जाता है और बीच वाला भाग हटा दिया जाता है, अत: काले क्षेत्र का ठीक 3/4 भाग शेष रहता है।
चरण 1: 1 × 3/4 = 3/4 = 0.75
चरण 2: (3/4) × (3/4) = 9/16 = 0.5625
चरण 3: (3/4)3 = 27/64 ≈ 0.4219
चरण 4: (3/4)4 = 81/256 ≈ 0.3164
चरण 5: (3/4)5 = 243/1024 ≈ 0.2373
चरण n में क्षेत्रफल = (3/4)n वर्ग इकाई
पुनरावर्ती रूप में: s0 = 1, sn = (3/4) × sn–1
चरण 2: (3/4) × (3/4) = 9/16 = 0.5625
चरण 3: (3/4)3 = 27/64 ≈ 0.4219
चरण 4: (3/4)4 = 81/256 ≈ 0.3164
चरण 5: (3/4)5 = 243/1024 ≈ 0.2373
चरण n में क्षेत्रफल = (3/4)n वर्ग इकाई
पुनरावर्ती रूप में: s0 = 1, sn = (3/4) × sn–1
n के बढ़ने पर क्षेत्रफल बार-बार 3/4 से गुणा होता जाता है, और 3/4, 1 से छोटा है, अत: काला क्षेत्रफल लगातार घटता है और 0 के अधिक से अधिक निकट आता जाता है, यद्यपि वह कभी 0 नहीं होता।
ऐसा क्यों होता है: एक ही आकृति से दो गुणोत्तर श्रेढ़ियाँ निकलती हैं, जो विपरीत दिशाओं में खिंचती हैं। त्रिभुज गिनने पर 3 से गुणा होता है (r > 1, अत: संख्या फूल जाती है); क्षेत्रफल मापने पर 3/4 से गुणा होता है (0 < r < 1, अत: क्षेत्रफल सिमट जाता है)। इसमें कोई विरोध नहीं है: प्रत्येक चरण में टुकड़े तीन गुने हो जाते हैं, किंतु प्रत्येक टुकड़े का क्षेत्रफल अपने मूल टुकड़े का चौथाई ही रह जाता है, और 3 × 1/4 = 3/4 < 1 है। यही एक संख्या 3/4 बताती है कि टुकड़ों की संख्या और कुल क्षेत्रफल उल्टी दिशाओं में क्यों जाते हैं।
क्या आप जानते हैं? यहाँ गिनती चरण 0 से प्रारंभ होती है, अत: घातांक ठीक चरण-संख्या के बराबर है — 3n और (3/4)n, "n – 1" के बिना। सूत्र लिखने से पहले सदैव देखिए कि पहला चरण किस संख्या से गिना जा रहा है।