कक्षा ९ गणित अध्याय 1 प्रश्नावली 1.2 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

रियान की आयाताकार अध्ययन मेज को इस प्रकार रखिए कि उसके तीन पाये बिंदुओं (8, 9), (11, 9) और (11, 7) पर स्थित हों। (i) मेज का चौथा पाया कहाँ होगा? (ii) क्या मेज के लिए यह एक सही स्थान है? (iii) मेज की चौड़ाई क्या है? इसकी लंबाई क्या है? क्या आप मेज की ऊँचाई बता सकते हैं?

उत्तर

(i) चौथा पाया (8, 7) पर होगा।

(8, 9) और (11, 9) का y समान → यह भुजा क्षैतिज है
(11, 9) और (11, 7) का x समान → यह भुजा ऊर्ध्व है
चौथे शीर्ष का x, (8, 9) के समान 8 और y, (11, 7) के समान 7 होगा
चौथा पाया = (8, 7)

ऐसा क्यों होता है: आयत की सम्मुख भुजाएँ समानांतर और बराबर होती हैं। (11, 9) से (8, 9) तक का विस्थापन 3 इकाई बाईं ओर है, अत: वही विस्थापन (11, 7) पर लगाने से चौथा पाया मिलेगा — (11 − 3, 7) = (8, 7)। मापने की आवश्यकता ही नहीं पड़ी; विस्थापन ने कार्य कर दिया।

(ii) हाँ, यह स्थान उपयुक्त है और इसे और अच्छा भी बनाया जा सकता है।

मेज 8 ≤ x ≤ 11 तथा 7 ≤ y ≤ 9 में है। कमरे की शेष वस्तुओं से इसकी तुलना कीजिए—

पलंग: x, 0.5 से 6.5 तक। 8 > 6.5 है, अत: कोई टकराव नहीं।
अलमारी: x, 3 से 7 तक और y, 0 से 2 तक। कोई टकराव नहीं।
कमरे का द्वार D₁R₁: नीचे की दीवार पर x, 8 से 11.5 तक। मेज y ≥ 7 पर है, अत: द्वार के घूमने के मार्ग से बहुत दूर है।

अत: कहीं अतिव्यापन नहीं होता। किंतु दाईं ओर (x = 11 से दाईं दीवार x = 12 तक) और ऊपर (y = 9 से ऊपरी दीवार y = 10 तक) 1-1 फुट स्थान व्यर्थ रह जाता है। मेज को कोने में सरका दें — पाये (9, 8), (12, 8), (12, 10) और (9, 10) पर — तो अधिक फर्श खाली रहेगा और, रियान के लिए महत्वपूर्ण बात, मेज की दो भुजाएँ उन दीवारों से सट जाएँगी जिन्हें वह हाथ से टटोलकर पहचान सकता है।

(iii) चौड़ाई 2 फुट, लंबाई 3 फुट; ऊँचाई ज्ञात नहीं की जा सकती।

लंबाई = |11 − 8| = 3 फुट (x-दिशा में)
चौड़ाई = |9 − 7| = 2 फुट (y-दिशा में)
ऊँचाई = ज्ञात नहीं की जा सकती

ऊँचाई क्यों नहीं मिल सकती: चित्र 1.5 फर्श का मानचित्र है। इसके दो अक्ष केवल उन्हीं दो दिशाओं को निर्धारित करते हैं जो फर्श में हैं; ऊँचाई दोनों पर लंबवत है और कोई भी युग्म (x, y) उसे अंकित नहीं कर सकता। यही कारण चित्र 1.1 में खिड़कियों के अंकित न हो पाने का भी था।

प्र2.

यदि एक स्नानगृह के द्वार का कब्जा B₁ पर है और यह शयनकक्ष की ओर खुलता है तो क्या यह अलमारी से टकराएगा? यदि द्वार अपेक्षाकृत अधिक चौड़ाई का बनाया जाए तो इस संदर्भ में क्या आप कुछ परिवर्तनों का सुझाव देंगे?

उत्तर

नहीं, वह अलमारी से नहीं टकराएगा — किंतु केवल 0.5 फुट का अंतर बचता है।

कब्जा B₁ = (0, 1.5); द्वार का पल्ला B₁B₂ = |4 − 1.5| = 2.5 फुट
कब्जे पर घूमते हुए पल्ले का मुक्त सिरा B₁ के परित: 2.5 त्रिज्या का चतुर्थांश वृत्त खींचता है
अलमारी 3 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 2 में है
B₁ के निकटतम अलमारी का बिंदु (3, 1.5) है, क्योंकि y = 1.5 पहले से ही 0 और 2 के बीच है
दूरी = |3 − 0| = 3 फुट
3 फुट > 2.5 फुट → द्वार अलमारी से 0.5 फुट की दूरी से बच जाता है

ऐसा क्यों होता है: घूमते हुए द्वार का प्रत्येक बिंदु कब्जे से 2.5 फुट के भीतर ही रहता है, क्योंकि कब्जा एक सिरे को स्थिर रखता है। अत: पूरा प्रश्न एक ही तुलना में सिमट जाता है — क्या अलमारी का निकटतम भाग B₁ से 2.5 फुट से अधिक दूर है? ‘टकराएगा या नहीं’ को ‘दो दूरियों की तुलना’ में बदल देना ही निर्देशांकों का उपयोग है।

यदि द्वार अधिक चौड़ा बनाया जाए। B₁ पर कब्जे वाला w चौड़ाई का द्वार w = 3 फुट पर अलमारी को छूने लगेगा और w > 3 फुट पर टकराएगा। चूँकि 2.5 फुट (30 इंच) व्हीलचेयर के लिए आवश्यक 32 इंच से कम है, द्वार को चौड़ा करना उचित है — तब इनमें से कोई एक परिवर्तन कीजिए—

अलमारी को 0.5–1 फुट दाईं ओर सरकाइए, अर्थात W₁ (3, 0)–W₂ (7, 0) के स्थान पर (3.5, 0)–(7.5, 0)। स्थान उपलब्ध है, क्योंकि दाईं दीवार x = 12 पर है।
कब्जा B₂ (0, 4) पर लगाइए, जिससे द्वार ऊपर की ओर, अलमारी से दूर खुले। तब निकटतम कोना (3, 2) होगा, जिसकी दूरी √(3² + 2²) = √13 ≈ 3.6 फुट है — अर्थात लगभग 3.5 फुट तक का द्वार बच निकलेगा।
द्वार को स्नानगृह की ओर खोलिए अथवा सरकने वाला (स्लाइडिंग) द्वार लगाइए, जो फर्श पर कोई स्थान घेरता ही नहीं।

संकेत: द्वार के घूमने का क्षेत्र निष्प्रयोज्य फर्श है — वहाँ कुछ रखा नहीं जा सकता। मानचित्र पर फर्नीचर रखने से पहले प्रत्येक द्वार का चतुर्थांश वृत्त खींच लीजिए।

प्र3.

रियान के स्नानगृह की ओर देखिए— (i) स्नानगृह के चार कोनों O, F, R और P के निर्देशांक क्या हैं? (ii) रियान के स्नानगृह में फव्वारा क्षेत्र का आकार क्या है? इसके चारों कोनों के निर्देशांक लिखिए। (iii) प्रक्षालन पात्र (वॉश बेसिन) के लिए 3 फुट × 2 फुट और प्रसाधन (शौचालय) के लिए 2 फुट × 3 फुट का स्थान चिह्नित कीजिए। इन स्थानों के कोनों के निर्देशांक लिखिए।

उत्तर

(i) चित्र 1.5 के अनुसार स्नानगृह y-अक्ष के बाईं ओर है—

O = (0, 0), F = (0, 9), R = (−6, 9), P = (−6, 0)
जाँच: चौड़ाई = |0 − (−6)| = 6 फुट, लंबाई = |9 − 0| = 9 फुट → 6 फुट × 9 फुट का स्नानगृह, जैसा चित्र 1.1 में लिखा है

x-निर्देशांक ऋणात्मक क्यों हैं: स्नानगृह उस दीवार के दूसरी ओर है जिसे y-अक्ष चुना गया था। उस अक्ष के बाईं ओर की दूरियाँ ऋणात्मक गिनी जाती हैं, अत: स्नानगृह द्वितीय चतुर्थांश में आता है। ऋणात्मक संख्याओं को स्वीकार करने का पूरा लाभ यही है — एक ही मूलबिंदु और एक ही अक्ष-युग्म दोनों कमरों का काम कर देता है।

(ii) फव्वारा क्षेत्र एक समलंब है (समकोणी समलंब), आयत नहीं।

6 फुट × 9 फुट के स्नानगृह के भीतर फव्वारा क्षेत्र SHWR। SH और RW समानांतर हैं तथा RS दोनों पर लंबवत है।

S = (−6, 6), H = (−3, 6), W = (−2, 9), R = (−6, 9)
SH: (−6, 6) से (−3, 6) — दोनों का y = 6, अत: SH क्षैतिज है, लंबाई 3 फुट
RW: (−6, 9) से (−2, 9) — दोनों का y = 9, अत: RW क्षैतिज है, लंबाई 4 फुट
SH ∥ RW किंतु 3 ≠ 4 → केवल एक युग्म समानांतर भुजाओं का → समलंब
RS: (−6, 9) से (−6, 6) — दोनों का x = −6, अत: RS ऊर्ध्व है, लंबाई 3 फुट और SH तथा RW पर लंबवत है
HW = √((−2 − (−3))² + (9 − 6)²) = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16 फुट — तिरछा काँच का किनारा
क्षेत्रफल = ½ × (3 + 4) × 3 = 10.5 वर्ग फुट

बिना मापे आकार कैसे पहचाना गया: दो रेखाखंड परस्पर समानांतर तब होते हैं जब दोनों पर एक ही निर्देशांक अचर रहे। यहाँ SH और RW दोनों पर y अचर है, अत: दोनों क्षैतिज हैं; RS पर x अचर है, अत: वह ऊर्ध्व है और इसलिए उन पर लंबवत है। HW पर कोई भी निर्देशांक अचर नहीं है, अत: वह तिरछा है — और उसकी लंबाई के लिए बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय चाहिए।

(iii) उत्तर भिन्न हो सकते हैं। एक उपयुक्त व्यवस्था, जिसमें दोनों उपकरण फव्वारा क्षेत्र (बाईं ओर y ≥ 6) से बाहर रहें और y-अक्ष पर स्थित द्वार से आने का मार्ग खुला रहे—

उपकरण	माप	कोनों के निर्देशांक
प्रक्षालन पात्र	3 फुट × 2 फुट	(−6, 0), (−3, 0), (−3, 2), (−6, 2)
प्रसाधन	2 फुट × 3 फुट	(−6, 2.5), (−4, 2.5), (−4, 5.5), (−6, 5.5)

प्रक्षालन पात्र: x के अनुदिश 3 इकाई (−6 से −3), y के अनुदिश 2 इकाई (0 से 2) → 3 फुट × 2 फुट ✓
प्रसाधन: x के अनुदिश 2 इकाई (−6 से −4), y के अनुदिश 3 इकाई (2.5 से 5.5) → 2 फुट × 3 फुट ✓
दोनों −6 ≤ x ≤ 0 तथा 0 ≤ y ≤ 9 के भीतर हैं और दोनों y = 6 से नीचे हैं → फव्वारा क्षेत्र से बाहर

स्वयं जाँचिए: आप जो भी कोने चुनें, जाँच इसी प्रकार कीजिए — x-निर्देशांकों का अंतर एक भुजा और y-निर्देशांकों का अंतर दूसरी भुजा देगा, तथा चारों कोनों के लिए −6 ≤ x ≤ 0 और 0 ≤ y ≤ 9 सत्य होना चाहिए। साथ ही x = 0 के पास y = 1.5 से 4 की पट्टी खाली छोड़िए — वहीं द्वार है।

प्र4.

घर में अन्य कमरे— (i) रियान कमरे के प्रवेशद्वार तक भोजनकक्ष से होकर जाता है जिसकी लंबाई 18 फुट और चौड़ाई 15 फुट है। भोजनकक्ष की लंबाई बिंदु P से लेकर बिंदु A तक है। भोजनकक्ष का रेखाचित्र खींचिए और इसके कोनों के निर्देशांकों को अंकित कीजिए। (ii) भोजनकक्ष के ठीक मध्य में एक 5 फुट × 3 फुट क्षेत्रफल की आयताकार भोजन-मेज (डाइनिंग टेबल) रखिए। मेज के पायों के निर्देशांकों को लिखिए।

उत्तर

(i) P = (−6, 0) और A = (12, 0) मानचित्र में पहले से अंकित हैं, तथा

PA = |12 − (−6)| = 18 फुट — ठीक वही लंबाई जो दी गई है ✓

अत: PA वह दीवार है जो शयनकक्ष और स्नानगृह से साझा है, और भोजनकक्ष उसके दूसरी ओर — x-अक्ष के नीचे — होगा। PA से 15 फुट नीचे जाने पर कोने प्राप्त होते हैं—

P (−6, 0), A (12, 0), (12, −15), (−6, −15)

भोजनकक्ष (नीला) x-अक्ष के नीचे है और शयनकक्ष तथा स्नानगृह के साथ दीवार PA साझा करता है। भोजन-मेज (नारंगी) का केंद्र (3, −7.5) है।

y-निर्देशांक ऋणात्मक क्यों हैं: x-अक्ष वही दीवार है जो भोजनकक्ष को रियान के भाग से अलग करती है। चिह्न की परिपाटी के अनुसार उस दीवार से नीचे की ओर मापी गई दूरियाँ ऋणात्मक होती हैं, अत: भोजनकक्ष तृतीय और चतुर्थ चतुर्थांश में फैलता है। इसीलिए प्रश्नावली में y-अक्ष को (0, −15) तक अंकित करने को कहा गया था — आलेख इतना बड़ा होना चाहिए कि कमरा उसमें आ सके।

(ii) आयत का केंद्र उसके विकर्ण का मध्यबिंदु होता है।

केंद्र = P (−6, 0) और (12, −15) का मध्यबिंदु
= ((−6 + 12)/2, (0 + (−15))/2)
= (3, −7.5)

मेज x के अनुदिश 5 फुट और y के अनुदिश 3 फुट → x में दोनों ओर 2.5 और y में दोनों ओर 1.5 जाइए—
x: 3 − 2.5 = 0.5 और 3 + 2.5 = 5.5
y: −7.5 − 1.5 = −9 और −7.5 + 1.5 = −6
पाये = (0.5, −6), (5.5, −6), (5.5, −9), (0.5, −9)

जाँच: मेज के अपने विकर्ण का मध्यबिंदु ((0.5 + 5.5)/2, (−6 + (−9))/2) = (3, −7.5) ✓ — अर्थात मेज वास्तव में ठीक मध्य में है।

यह कीजिए: मेज को समकोण पर घुमाइए, अर्थात x के अनुदिश 3 फुट और y के अनुदिश 5 फुट। तब पाये (1.5, −5), (4.5, −5), (4.5, −10), (1.5, −10) होंगे — केंद्र फिर भी (3, −7.5) ही रहेगा। दोनों उत्तर सही हैं; प्रश्न केंद्र निश्चित करता है, दिशा नहीं।

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