कक्षा ९ गणित अध्याय 1 सोचिए और विचार कीजिए के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

y-अक्ष पर किसी बिंदु का x-निर्देशांक क्या है?

उत्तर

y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक = 0

ऐसा क्यों होता है: किसी बिंदु का x-निर्देशांक y-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित है, जो दाईं ओर धनात्मक और बाईं ओर ऋणात्मक ली जाती है। जो बिंदु y-अक्ष पर ही स्थित है, उसकी उससे दूरी शून्य है, अत: उसका x-निर्देशांक 0 के अतिरिक्त कुछ हो ही नहीं सकता। ऐसे प्रत्येक बिंदु का रूप (0, y) होता है — जैसे चित्र 1.2 में H (0, 4) और G (0, −4.5)।

संकेत: इस नियम को उलटकर भी पढ़िए। यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक 0 है तो वह y-अक्ष पर ही होगा। इस प्रकार x = 0 ही y-अक्ष का समीकरण है।

प्र2.

क्या x-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए समान व्यापकीकरण किया जा सकता है?

उत्तर

हाँ, केवल दोनों अक्षों की भूमिकाएँ बदल जाती हैं।

x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक = 0
x-अक्ष के प्रत्येक बिंदु का रूप (x, 0) होता है

ऐसा क्यों होता है: y-निर्देशांक x-अक्ष से लंबवत दूरी मापता है। जो बिंदु x-अक्ष पर ही स्थित है उसकी उससे दूरी शून्य है, अत: y = 0। चित्र 1.2 में B (4.5, 0) और E (−2.9, 0) इसके उदाहरण हैं। इस प्रकार y = 0, x-अक्ष का समीकरण है।

क्या आप जानते हैं? दोनों परिणामों को मिलाइए — जो बिंदु दोनों अक्षों पर हो उसके लिए x = 0 और y = 0, अर्थात वह (0, 0) है। यह इस बात की संक्षिप्त उपपत्ति है कि दोनों अक्ष ठीक एक ही बिंदु — मूलबिंदु — पर मिलते हैं।

प्र3.

क्या बिंदु Q (y, x) कभी भी बिंदु P (x, y) के संपाती होता है? अपने उत्तर को प्रमाणित कीजिए।

उत्तर

हाँ — ठीक तभी जब x = y हो।

दो बिंदु संपाती होते हैं ⇔ उनके दोनों निर्देशांक समान हों
(x, y) = (y, x) ⇔ x = y और y = x
दोनों शर्तें एक ही बात कहती हैं, अत: ⇔ x = y

उदाहरणार्थ P (4, 4) और Q (4, 4) एक ही बिंदु हैं। किंतु P (4, 7) और Q (7, 4) दो भिन्न बिंदु हैं।

ऐसा क्यों होता है: (x, y) एक क्रमित युग्म है — पहली प्रविष्टि क्षैतिज विस्थापन के लिए और दूसरी ऊर्ध्व विस्थापन के लिए सुरक्षित है। प्रविष्टियों को बदलने पर दोनों विस्थापन बदल जाते हैं और बिंदु हट जाता है — जब तक कि दोनों विस्थापन समान न हों, क्योंकि तब बदलने से कुछ नहीं बदलता। ज्यामितीय रूप से, निर्देशांकों को बदलना बिंदु का परावर्तन उस रेखा में करता है जो O से होकर प्रथम और तृतीय चतुर्थांश को समद्विभाजित करती है (रेखा y = x), और परावर्तन केवल दर्पण रेखा पर स्थित बिंदुओं को ही अपरिवर्तित छोड़ता है।

स्वयं जाँचिए: P (4, 7) और Q (7, 4) दोनों O से √(16 + 49) = √65 दूरी पर हैं। मूलबिंदु से समान दूरी होना दो बिंदुओं के संपाती होने के लिए पर्याप्त नहीं है — दोनों निर्देशांकों का समान होना आवश्यक है।

प्र4.

यदि x ≠ y है तो (x, y) ≠ (y, x) होगा और (x, y) = (y, x) केवल तभी होगा, यदि x = y हो। क्या यह सत्य है?

उत्तर

हाँ, यह कथन सत्य है। इसके दोनों भाग क्रमित युग्म के एक ही तथ्य से निकलते हैं — (a, b) = (c, d) ठीक तभी जब a = c और b = d हो।

यदि x = y: तब (x, y) = (x, x) और (y, x) = (x, x), अत: दोनों एक ही बिंदु हैं।
यदि (x, y) = (y, x): पहली प्रविष्टियों की तुलना से x = y। अर्थात समानता x = y को बाध्य कर देती है।
दोनों मिलाकर: (x, y) = (y, x) तभी और केवल तभी जब x = y।
प्रतिधनात्मक रूप: यदि x ≠ y हो तो (x, y) ≠ (y, x)।

ऐसा क्यों होता है: दूसरा कथन ‘तभी और केवल तभी’ का है, अत: उसकी दोनों दिशाओं की उपपत्ति देनी होती है; और पहला कथन उन्हीं में से एक दिशा का प्रतिधनात्मक रूप मात्र है। इसीलिए कथन के दोनों वाक्य वस्तुत: दो पृथक तथ्य नहीं हैं — ‘तभी और केवल तभी’ सिद्ध कर देने से पूरा कथन सिद्ध हो जाता है।

संकेत: ‘तभी और केवल तभी’ वाले कथन की दिशा पर ध्यान दीजिए। केवल यह कहना कि ‘x = y से (x, y) = (y, x) होता है’ पर्याप्त नहीं होता — यह भी दिखाना पड़ता है कि दोनों युग्म किसी अन्य कारण से समान नहीं हो सकते, और यही कार्य दूसरी दिशा करती है।

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