त्रिभुज ADM प्रथम चतुर्थांश में एक न्यूनकोण त्रिभुज है। हम इसकी भुजाओं AD, DM और MA की लंबाई कैसे ज्ञात करेंगे?

Question

Accepted Answer

AD, DM, MA में से कोई भी अक्ष के समानांतर नहीं है, अत: निर्देशांकों को सीधे घटाया नहीं जा सकता। इसके स्थान पर प्रत्येक भुजा को ऐसे समकोण त्रिभुज का कर्ण बना लीजिए जिसकी भुजाएँ अक्षों के समानांतर हों।

A से सीधे नीचे C (3, 1) तक आने पर ∆ACD बनता है, जो C पर समकोण है और जिसकी भुजाएँ अक्षों के समानांतर हैं।

A (3, 4), D (7, 1), M (9, 6)

AD: क्षैतिज विस्थापन = |7 − 3| = 4, ऊर्ध्व विस्थापन = |4 − 1| = 3
AD = √(4² + 3²) = √25 = 5 इकाई

DM: क्षैतिज विस्थापन = |9 − 7| = 2, ऊर्ध्व विस्थापन = |6 − 1| = 5
DM = √(2² + 5²) = √29 ≈ 5.39 इकाई

MA: क्षैतिज विस्थापन = |9 − 3| = 6, ऊर्ध्व विस्थापन = |6 − 4| = 2
MA = √(6² + 2²) = √40 = 2√10 ≈ 6.32 इकाई

ऐसा क्यों होता है: किन्हीं दो बिंदुओं को लीजिए। पहले से दूसरे तक दो चरणों में जाइए — पहले क्षैतिज, फिर ऊर्ध्व। जिस कोने पर मुड़ना पड़ा वही तीसरा शीर्ष है, भुजा AD के लिए C (3, 1)। एक चरण क्षैतिज रेखा के अनुदिश है और दूसरा ऊर्ध्व रेखा के अनुदिश, अत: वहाँ का कोण समकोण है। तब बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय इन दो चरणों से सीधी दूरी दे देती है। यह विधि किसी भी बिंदु-युग्म पर लागू होती है, इसीलिए यही व्यापक दूरी सूत्र √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) बन जाता है।

स्वयं जाँचिए: पुस्तक ∆ADM को न्यूनकोण त्रिभुज कहती है। इसे सत्यापित कीजिए। सबसे लंबी भुजा MA है और MA² = 40। अब AD² + DM² = 25 + 29 = 54 है और 54 > 40, अत: MA के सम्मुख कोण (D पर कोण) न्यून है। शेष दो कोण छोटी भुजाओं के सम्मुख हैं, अत: वे भी न्यून हैं। तीनों कोण न्यून — कथन सत्य सिद्ध हुआ, और वह भी केवल संख्याओं से।

कक्षा ९ गणित अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान