कक्षा ९ गणित अध्याय 1 सोचिए और विचार कीजिए के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

A (3, 4) से D (7, 1) तक पहुँचने में, x-अक्ष के अनुदिश कितनी दूरी तय की गई है? इन्हीं बिंदुओं के लिए y-अक्ष के अनुदिश कितनी दूरी तय की गई है?

उत्तर

x-अक्ष के अनुदिश: 7 − 3 = 4 इकाई (दाईं ओर)
y-अक्ष के अनुदिश: 1 − 4 = −3, अर्थात 3 इकाई नीचे की ओर

चित्र 1.7 में ये दोनों विस्थापन CD = 4 और AC = 3 के रूप में दिखते हैं, जहाँ C = (3, 1) है।

ऐसा क्यों होता है: x-निर्देशांक केवल क्षैतिज दिशा में स्थिति अंकित करता है, अत: x में परिवर्तन यात्रा का केवल क्षैतिज भाग मापता है, और कुछ नहीं। यही बात y के लिए भी है। 1 − 4 में आया ऋण चिह्न त्रुटि नहीं, सूचना है — वह बताता है कि गति नीचे की ओर हुई। लंबाई के लिए हम उसका परिमाण 3 इकाई लेते हैं।

प्र2.

क्या ये दूरियाँ आपको AD दूरी ज्ञात करने में सहायता कर सकती हैं?

उत्तर

हाँ। दोनों विस्थापन उस समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं जिसका कर्ण AD है।

मोड़ का बिंदु C = (3, 1)
AC ऊर्ध्व है (सर्वत्र x = 3) और CD क्षैतिज है (सर्वत्र y = 1)
→ ∡ACD = 90°

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से—
AD² = AC² + CD² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
AD = 5 इकाई

ऐसा क्यों होता है: क्षैतिज रेखा और ऊर्ध्व रेखा सदैव समकोण पर मिलती हैं — दोनों अक्ष आरंभ में इसी प्रकार निर्धारित किए गए थे। अत: किसी भी यात्रा को एक क्षैतिज चरण और एक ऊर्ध्व चरण में बाँट देने से समकोण त्रिभुज अपने आप बन जाता है और प्रमेय सदैव उपलब्ध रहती है। यही एक अवलोकन ज्यामिति को बीजगणित में बदल देता है: AD = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)।

संकेत: किस बिंदु से आरंभ किया, इससे कोई अंतर नहीं पड़ता। D से A जाने पर विस्थापन −4 और +3 होंगे, और वर्ग करने पर दोनों चिह्न समाप्त होकर वही धनात्मक संख्याएँ देते हैं: (−4)² + 3² = 25। दूरी की कोई दिशा नहीं होती।

क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ