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कक्षा ९ गणित अध्याय 2 प्रश्नावली 2.1 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
नीचे दिए गए बहुपदों की घातें ज्ञात कीजिए — (i) 2x² – 5x + 3   (ii) y³ + 2y – 1   (iii) – 9   (iv) 4z – 3
उत्तर

घात वह उच्चतम घातांक है जो वास्तव में उपस्थित हो।

बहुपदउपस्थित घातेंघातनाम
(i) 2x² − 5x + 32, 1, 02द्विघाती
(ii) y³ + 2y − 13, 1, 03त्रिघाती
(iii) −9केवल 00अचर
(iv) 4z − 31, 01रैखिक
(iii) की घात 0 क्यों है, “घात नहीं” क्यों नहीं: −9 को −9x⁰ लिखा जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक x ≠ 0 के लिए x⁰ = 1 है। अत: चर उपस्थित है और उसकी घात 0 है, इसलिए उच्चतम घात 0 हुई। यह भी ध्यान दीजिए कि (ii) में y² पद अनुपस्थित है; अनुपस्थित पद का गुणांक 0 होता है और उससे घात पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता — घात अशून्य गुणांक वाली सबसे बड़ी घात से तय होती है।
संकेत: घात घातांकों से पढ़ी जाती है, गुणांकों से कभी नहीं। 2x² − 5x + 3 की घात 2 ही है, यद्यपि 5 और 3 संख्याएँ 2 से बड़ी हैं।
प्र2.
घात 1, 2 और 3 के बहुपद लिखिए।
उत्तर

एक चर वाला ऐसा कोई भी व्यंजक चलेगा जिसकी उच्चतम घात अभीष्ट संख्या हो। उदाहरण के लिए —

घात 1 (रैखिक):   3x + 7
घात 2 (द्विघाती):   x² − 4x + 1
घात 3 (त्रिघाती):   2x³ + x − 5
केवल दो बातें जाँचनी हैं: पहली, ठीक एक ही चर आना चाहिए — 3x + 7y एकचरीय बहुपद नहीं है। दूसरी, सर्वोच्च पद का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए — 2x³ + x − 5 में x³ का गुणांक 2 है, जो अशून्य है, अत: घात वास्तव में 3 है। नीचे के पद स्वतंत्र रूप से अनुपस्थित रह सकते हैं — अकेला x³ भी पूर्णत: उचित त्रिघाती बहुपद है।
यह कीजिए: प्रत्येक घात के तीन-तीन और बहुपद लिखिए, भिन्न-भिन्न अक्षरों (t, m, z) के साथ और कम-से-कम एक ऋणात्मक गुणांक रखते हुए; फिर किसी साथी से अदल-बदल कर घातें जाँचिए।
प्र3.
बहुपद x⁴ – 3x³ + 6x² – 2x + 7 में x² और x³ के गुणांक क्या हैं?
उत्तर

प्रत्येक घात के साथ लगी संख्या को उसके आगे लगे चिह्न सहित पढ़िए।

x⁴ − 3x³ + 6x² − 2x + 7
x² का गुणांक = 6
x³ का गुणांक = −3
चिह्न उत्तर का भाग क्यों है: बहुपद पदों का योग है, अत: “− 3x³” वास्तव में “+ (−3)x³” है। ऋण चिह्न छोड़ देने पर मान गलत आ जाएगा — x = 1 पर सही मान 1 − 3 + 6 − 2 + 7 = 9 है, जबकि +3 लेने पर 15 मिलेगा।
संकेत: यहाँ x⁴ का गुणांक 1 है (जो लिखा नहीं गया) और अचर पद 7 वस्तुत: x⁰ का गुणांक है।
प्र4.
बहुपद 4z³ + 5z² – 11 में z का गुणांक क्या है?
उत्तर

z वाला कोई पद लिखा ही नहीं है, अत: उसका गुणांक

4z³ + 5z² − 11 = 4z³ + 5z² + 0·z − 11
z का गुणांक = 0
0 क्यों, “कोई नहीं” क्यों नहीं: घात 3 के बहुपद में चारों घातों z³, z², z, z⁰ के लिए स्थान होता है। जो घात लिखी नहीं गई, वह गुणांक 0 के साथ उपस्थित है — 0·z जोड़ने से कुछ नहीं बदलता, अत: दोनों लेखन एक ही वस्तु हैं। गुणांक 0 कहने से गुणांकों की सूची पूरी बनी रहती है — 4, 5, 0, −11।
स्वयं जाँचिए: z = 2 पर 4(8) + 5(4) − 11 = 32 + 20 − 11 = 41, और 0·2 जोड़ने पर भी 41 ही रहता है।
प्र5.
बहुपद 9x³ + 5x² – 8x – 10 में अचर पद क्या है?
उत्तर

अचर पद वही है जिसमें x नहीं है।

9x³ + 5x² − 8x − 10
अचर पद = −10
इसे अलग से नाम देना क्यों उपयोगी है: अचर पद वही मान है जो चर के 0 होने पर बहुपद देता है। x = 0 रखने पर शेष सभी पद समाप्त हो जाते हैं — 9(0) + 5(0) − 8(0) − 10 = −10। अत: अचर पद आगत-निर्गत मशीन का “आरंभिक मान” है, और आगे इसी अध्याय में यही y = ax + b का b, अर्थात y-अंतःखंड बनता है।
संकेत: ऋण चिह्न 10 के साथ ही रखिए। केवल “10” किसी दूसरे ही बहुपद का अचर पद होगा।
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