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कक्षा ९ गणित अध्याय 2 प्रश्नावली 2.2 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
रैखिक बहुपद 5x – 3 का मान ज्ञात कीजिए, यदि — (i) x = 0   (ii) x = –1   (iii) x = 2
उत्तर

बारी-बारी से प्रत्येक मान प्रतिस्थापित कीजिए।

(i)   5(0) − 3 = 0 − 3 = −3
(ii)   5(−1) − 3 = −5 − 3 = −8
(iii)   5(2) − 3 = 10 − 3 = 7
उत्तर समान अंतराल से क्यों बढ़ते हैं: x = −1 से x = 0 तक मान −8 → −3 जाता है, अर्थात 5 की वृद्धि; x = 0 से x = 1 तक −3 → 2, फिर 5 की वृद्धि। व्यापक रूप में 5(x + 1) − 3 − (5x − 3) = 5, अर्थात x का गुणांक। आगत में एक इकाई का प्रत्येक अंतराल निर्गत को ठीक गुणांक के बराबर बदलता है — इसी संख्या को आगे ढलान कहा जाएगा।
संकेत: प्रतिस्थापित मान को कोष्ठक में रखिए, विशेषकर जब वह ऋणात्मक हो। 5(−1) के स्थान पर 5−1 लिख देना यहाँ की सबसे सामान्य भूल है।
प्र2.
द्विघाती बहुपद 7s² – 4s + 6 का मान ज्ञात कीजिए, यदि — (i) s = 0   (ii) s = –3   (iii) s = 4
उत्तर
(i)   7(0)² − 4(0) + 6 = 0 − 0 + 6 = 6
(ii)   7(−3)² − 4(−3) + 6
    = 7(9) + 12 + 6
    = 63 + 12 + 6 = 81
(iii)   7(4)² − 4(4) + 6
    = 7(16) − 16 + 6
    = 112 − 16 + 6 = 102
(ii) के दोनों ऋण चिह्न अलग-अलग काम क्यों करते हैं: (−3)² = +9 होता है, क्योंकि ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है — अत: पहला पद +63 है, −63 नहीं। किंतु −4(−3) = +12 है, क्योंकि ऋण को ऋण से गुणा करने पर धन मिलता है। इन दोनों को अलग-अलग सँभालना ही इस प्रश्न की पूरी कठिनाई है।
स्वयं जाँचिए: निर्गत 6, 81, 102 रैखिक प्रतिरूप में नहीं हैं — प्र.1 के विपरीत, यहाँ s में समान अंतराल लेने पर समान अंतर नहीं मिलते। यही s² पद का प्रत्यक्ष चिह्न है।
प्र3.
सलिल की माँ की वर्तमान आयु सलिल की वर्तमान आयु से तीन गुना है। 5 वर्ष के पश्चात दोनों की आयु का योगफल 70 वर्ष होगा। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
उत्तर

मान लीजिए सलिल की वर्तमान आयु x वर्ष है। तब उसकी माँ की वर्तमान आयु 3x वर्ष है।

5 वर्ष पश्चात: सलिल = x + 5,   माँ = 3x + 5
(x + 5) + (3x + 5) = 70
4x + 10 = 70
4x = 60
x = 15

सलिल की आयु 15 वर्ष और उसकी माँ की आयु 45 वर्ष है।

जाँच: 5 वर्ष बाद आयु 20 और 50 होगी, तथा 20 + 50 = 70। ✓

एक ही अक्षर पर्याप्त क्यों है: पहला वाक्य दोनों आयुओं को आपस में बाँध देता है, अत: माँ की आयु दूसरी अज्ञात राशि नहीं, 3x है। इससे एक अज्ञात और एक शर्त बचती है, और 4x + 10 एक रैखिक बहुपद है; उसे 70 के समीकृत करने पर ठीक एक हल वाला रैखिक समीकरण मिलता है। यह भी ध्यान दीजिए कि 5 दो बार जुड़ता है, प्रत्येक व्यक्ति के लिए एक बार; यह भूलने पर 4x + 5 = 70 और गलत उत्तर मिलेगा।
संकेत: आयु का अंतर 45 − 15 = 30 वर्ष कभी नहीं बदलता। किसी भी आयु-प्रश्न में इसे दूसरी जाँच के रूप में प्रयोग कीजिए।
प्र4.
दो धनात्मक पूर्णांकों का अंतर 63 है। दोनों पूर्णांकों का अनुपात 2:5 है। दोनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर

अनुपात 2 : 5 के कारण दोनों संख्याएँ एक ही अक्षर से लिखी जा सकती हैं। मान लीजिए वे 2k और 5k हैं।

5k − 2k = 63
3k = 63
k = 21
2k = 42,   5k = 105

जाँच: 105 − 42 = 63 ✓ तथा 42 : 105 = 2 : 5 (दोनों में 21 का भाग दीजिए)। ✓

“k” लेने की विधि उचित क्यों है: अनुपात 2 : 5 कहने का अर्थ है कि दोनों संख्याएँ समान आकार के क्रमश: 2 और 5 भाग हैं। उस उभयनिष्ठ भाग को k कहने से अनुपात ठीक-ठीक व्यक्त हो जाता है और दो अज्ञात राशियाँ एक में बदल जाती हैं। 2 : 5 अनुपात वाला प्रत्येक युग्म — 4 और 10, 6 और 15, 42 और 105 — (2k, 5k) के रूप का ही होता है; अंतर वाली शर्त उनमें से अभीष्ट एक युग्म चुन लेती है।
स्वयं जाँचिए: 2k और 5k का अंतर 3k है, अत: ऐसा कोई भी अंतर 3 का गुणज होना चाहिए। 63 = 3 × 21 है, इसीलिए पूर्ण संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
प्र5.
रूबी के पास दो रुपये के सिक्कों की संख्या, पाँच रुपये के सिक्कों की संख्या से तीन गुना है। यदि उसके पास कुल ₹88 हैं तो दोनों प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर

मान लीजिए पाँच रुपये के सिक्कों की संख्या f है। तब दो रुपये के सिक्कों की संख्या 3f है।

दो रुपये के सिक्कों का मूल्य = 2 × 3f = 6f
पाँच रुपये के सिक्कों का मूल्य = 5f
6f + 5f = 88
11f = 88
f = 8

रूबी के पास पाँच रुपये के 8 सिक्के और दो रुपये के 24 सिक्के हैं (कुल 32 सिक्के)।

जाँच: 24 × ₹2 = ₹48 और 8 × ₹5 = ₹40; ₹48 + ₹40 = ₹88। ✓

सिक्कों को सीधे क्यों नहीं जोड़ सकते: ₹88 मूल्य का योग है, सिक्कों की संख्या का नहीं; अत: जोड़ने से पहले प्रत्येक संख्या को उस सिक्के के मूल्य से गुणा करना आवश्यक है। इसका सुंदर परिणाम यह है कि दो रुपये के 3 सिक्कों और पाँच रुपये के 1 सिक्के का प्रत्येक “समूह” ₹11 का होता है, और 88 ÷ 11 = 8 बताता है कि ऐसे 8 समूह हैं।
संकेत: अक्षर सदैव कम संख्या वाले सिक्के के लिए चुनिए (यहाँ पाँच रुपये वाले)। तब दूसरी संख्या 3f स्वत: पूर्ण संख्या बनी रहती है।
प्र6.
एक किसान 300 फुट लंबी बाड़ को भिन्न-भिन्न आकार के दो टुकड़ों में काटता है। लंबा टुकड़ा छोटे टुकड़े से चार गुना लंबा है। दोनों टुकड़ों की लंबाई क्या होगी?
उत्तर

मान लीजिए छोटा टुकड़ा x फुट का है। तब लंबा टुकड़ा 4x फुट का है।

x + 4x = 300
5x = 300
x = 60

दोनों टुकड़े 60 फुट और 240 फुट के हैं।

जाँच: 60 + 240 = 300 ✓ और 240 = 4 × 60। ✓

5 कहाँ से आया: पूरी बाड़ छोटे टुकड़े और उसी माप के चार और टुकड़ों से बनी है — कुल 5 बराबर भाग। अत: छोटा टुकड़ा 300 का पाँचवाँ भाग है और लंबा टुकड़ा चार-पाँचवाँ। अनुपात 1 : 4 को “5 बराबर भाग” पढ़ लेना उसी रैखिक समीकरण तक पहुँचने का तेज़ मार्ग है।
संकेत: प्रश्न कहता है कि टुकड़े भिन्न-भिन्न आकार के हैं, और उत्तर इससे मेल खाता है: 60 ≠ 240। यदि कभी ऐसे प्रश्न में दोनों उत्तर बराबर आ जाएँ तो प्रश्न फिर से पढ़िए।
प्र7.
यदि एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से तीन अधिक हो और उसका परिमाप 24 सेंटीमीटर हो तो आयत की विमाएँ (लंबाई और चौड़ाई) क्या होंगी?
उत्तर

मान लीजिए चौड़ाई w सेंटीमीटर है। तब लंबाई (2w + 3) सेंटीमीटर है।

परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)
2[(2w + 3) + w] = 24
2(3w + 3) = 24
6w + 6 = 24
6w = 18
w = 3

चौड़ाई = 3 सेंटीमीटर, लंबाई = 2(3) + 3 = 9 सेंटीमीटर।

जाँच: परिमाप = 2(9 + 3) = 24 सेंटीमीटर ✓ और 9, 3 के दुगुने से तीन अधिक है। ✓

कोष्ठक क्यों आवश्यक है: “चौड़ाई के दुगुने से तीन अधिक” का अर्थ 2w + 3 है, और परिमाप का सूत्र (लंबाई + चौड़ाई) के पूरे योग को दोगुना करता है। 2(2w + 3 + w) के स्थान पर 2 × 2w + 3 + w लिखने पर 3 दोगुना नहीं होता और w = 21/5 जैसा अनुपयुक्त उत्तर मिलता है। परिमाप 6w + 6 स्वयं w में एक रैखिक बहुपद है, अत: उसे 24 के समीकृत करने पर ठीक एक हल मिलता है।
स्वयं जाँचिए: क्षेत्रफल 27 वर्ग सेंटीमीटर है। अब वही आकार-नियम परिमाप 36 सेंटीमीटर के साथ लीजिए — w = 5 और लंबाई 13 सेंटीमीटर मिलनी चाहिए।
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