प्र1.
हम सीख चुके हैं कि किसी बीजीय व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए व्यंजक में चर का कोई मान प्रतिस्थापित करते हैं। उदाहरण 3 पर विचार कीजिए, जिसमें तार को मोड़कर एक आयत बनाया गया है। यहाँ आयत का क्षेत्रफल 10x – x², x का एक फलन है। क्या आप इसकी व्याख्या एक आगत-निर्गत विधि के रूप में कर सकते हैं? यदि x = 6 सेंटीमीटर हो तो व्यंजक का मान क्या होगा?
उत्तर
हाँ। यह मशीन एक लंबाई x आगत के रूप में लेती है और 20 सेंटीमीटर के तार से बनने वाले आयत का क्षेत्रफल निर्गत के रूप में देती है।
आगत x = 6 → 10 × 6 − 6²
= 60 − 36
= 24 वर्ग सेंटीमीटर
= 60 − 36
= 24 वर्ग सेंटीमीटर
आकृति से जाँच: लंबाई 6 सेंटीमीटर हो तो चौड़ाई 10 − 6 = 4 सेंटीमीटर, और 6 × 4 = 24 वर्ग सेंटीमीटर। ✓
| आगत x (सेंटीमीटर) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| निर्गत 10x − x² (वर्ग सेंटीमीटर) | 16 | 24 | 24 | 16 |
| अंतर | — | +8 | 0 | −8 |
यह मशीन रैखिक क्यों नहीं है: अंतिम पंक्ति के अंतर समान नहीं हैं — वे +8, 0, −8 हैं। दो भिन्न आगत 4 और 6 तो एक ही निर्गत 24 देते हैं। कोई रैखिक मशीन ऐसा कभी नहीं कर सकती। कारण x² पद है — क्रमागत मानों को घटाने पर x कटता नहीं, शेष रह जाता है, अत: अंतर का आकार स्वयं इस बात पर निर्भर करता है कि आप कहाँ हैं। इसीलिए 10x − x² को द्विघाती फलन कहते हैं, जबकि 2x + 3 रैखिक है।
यह कीजिए: x = 5 डालिए। निर्गत 25 वर्ग सेंटीमीटर मिलेगा, जो सबसे बड़ा है — वह वर्ग है। उसके आगे निर्गत फिर घटने लगते हैं, इसीलिए इस मशीन का आलेख सरल रेखा नहीं, एक वक्र होता है।