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कक्षा ९ गणित अध्याय 2 प्रश्नावली 2.3 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
एक विद्यार्थी के बचत बैंक खाते में ₹500 हैं। उसे ₹150 प्रतिमाह जेब खर्च के रूप में मिलते हैं। दूसरे महीने से लेकर प्रत्येक महीने के अंत में उसके खाते में कितनी धनराशि होगी? nवें महीने में उसके खाते में जमा धनराशि को दर्शाने के लिए रैखिक व्यंजक ज्ञात कीजिए।
उत्तर

वह ₹500 से आरंभ करती है और प्रत्येक महीने के अंत में ₹150 जोड़ती है।

nवें महीने के अंत में12345…
धनराशि (₹)65080095011001250…

दूसरे महीने से आगे शेष राशियाँ ₹800, ₹950, ₹1100, ₹1250, … हैं — प्रत्येक पिछली से ₹150 अधिक।

nवें महीने में धनराशि = ₹(500 + 150n)

जाँच: n = 2 पर 500 + 300 = ₹800। ✓

व्यंजक इस प्रकार क्यों बँटता है: ₹500 जेब खर्च आने से पहले ही खाते में है, अत: वह अचर पद है — n = 0 पर का मान। ₹150 महीने में एक बार आता है, इसलिए उसे n से गुणा किया जाता है। क्रमागत शेष राशियों का अंतर निश्चित ₹150 है, अत: यह घात 1 वाला रैखिक प्रतिरूप है और 150 उसका ढलान है।
यह कीजिए: उसके खाते में ₹3000 से अधिक पहली बार कब होंगे? 500 + 150n > 3000 हल करने पर n > 16.67, अर्थात 17वें महीने में।
प्र2.
एक रैली 120 सदस्यों के साथ प्रारंभ होती है। प्रत्येक घंटे के पश्चात 9 सदस्य समूह से बाहर हो जाते हैं। 1, 2, 3, … घंटे के पश्चात कितने सदस्य रैली में बने रहेंगे? nवें घंटे के अंत में शेष सदस्यों की संख्या ज्ञात करने के लिए रैखिक व्यंजक ज्ञात कीजिए।
उत्तर
n घंटे पश्चात12345…
शेष सदस्य111102938475…
nवें घंटे के अंत में सदस्य = 120 − 9n

जाँच: n = 3 पर 120 − 27 = 93। ✓

गुणांक ऋणात्मक क्यों है: सदस्य बाहर जाते हैं, अत: प्रत्येक घंटा निश्चित 9 घटाता है — यह रैखिक ह्रास है और उसका ढलान −9 है। बेला के जेब खर्च की तरह यहाँ भी प्रतिरूप की स्वाभाविक सीमा है: 120 − 9n ≥ 0 के लिए n ≤ 13⅓ चाहिए। n = 13 पर 3 सदस्य शेष रहते हैं और अगले घंटे के भीतर रैली समाप्त हो जाती है। उसके आगे व्यंजक ऋणात्मक संख्या में व्यक्ति बताएगा, जो निरर्थक है।
स्वयं जाँचिए: संख्या ठीक 0 तक कभी नहीं पहुँचती, क्योंकि 120, 9 का गुणज नहीं है। 120 − 9n = 0 हल करने पर n = 13⅓ मिलता है — रैली कब खाली होगी इसका अनुमान तो यह देता है, किंतु यह कोई घंटा-संख्या नहीं है।
प्र3.
मान लीजिए कि एक आयत की लंबाई 13 सेंटीमीटर है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि उसकी चौड़ाई — (i) 12 सेंटीमीटर (ii) 10 सेंटीमीटर (iii) 8 सेंटीमीटर हो। आयत के क्षेत्रफल को दर्शाने वाले रैखिक प्रतिरूप को भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर

लंबाई 13 सेंटीमीटर नियत है, अत: क्षेत्रफल = 13 × चौड़ाई।

(i)   13 × 12 = 156 वर्ग सेंटीमीटर
(ii)   13 × 10 = 130 वर्ग सेंटीमीटर
(iii)   13 × 8 = 104 वर्ग सेंटीमीटर
यदि चौड़ाई b सेंटीमीटर हो, तो क्षेत्रफल A = 13b वर्ग सेंटीमीटर
चौड़ाई b (सेंटीमीटर)81012
क्षेत्रफल A = 13b104130156
b में 2 की वृद्धि पर अंतर—+26+26
क्षेत्रफल सामान्यत: रैखिक नहीं होता, फिर भी यहाँ क्यों है: क्षेत्रफल lb में दो चर होते हैं और वह व्यापक रूप में रैखिक नहीं है — उदाहरण 2 के उद्यान में यही बात थी। किंतु यहाँ लंबाई नियत 13 है, अत: केवल एक चर स्वतंत्र है और 13b की b में घात 1 है। चौड़ाई के प्रत्येक अतिरिक्त सेंटीमीटर से 13 सेंटीमीटर लंबी एक पट्टी जुड़ती है, अर्थात 13 वर्ग सेंटीमीटर — एक अचर, और यही प्रतिरूप को रैखिक बनाता है।
संकेत: अचर पद 0 है — चौड़ाई शून्य तो क्षेत्रफल शून्य। इसका आलेख मूलबिंदु से जाती रेखा A = 13b है।
प्र4.
मान लीजिए कि एक आयताकार बक्से की लंबाई 7 सेंटीमीटर है और उसकी चौड़ाई 11 सेंटीमीटर है। बक्से का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि उसकी ऊँचाई — (i) 5 सेंटीमीटर (ii) 9 सेंटीमीटर (iii) 13 सेंटीमीटर हो। आयताकार बक्से के आयतन को दर्शाने वाले रैखिक प्रतिरूप को ज्ञात कीजिए।
उत्तर

लंबाई × चौड़ाई = 7 × 11 = 77 वर्ग सेंटीमीटर, और यह आधार नियत है। अत: आयतन = 77 × ऊँचाई।

(i)   77 × 5 = 385 घन सेंटीमीटर
(ii)   77 × 9 = 693 घन सेंटीमीटर
(iii)   77 × 13 = 1001 घन सेंटीमीटर
यदि ऊँचाई h सेंटीमीटर हो, तो आयतन V = 77h घन सेंटीमीटर
ऊँचाई h (सेंटीमीटर)5913
आयतन V = 77h3856931001
h में 4 की वृद्धि पर अंतर—+308+308
आयतन रैखिक व्यवहार कैसे कर सकता है: आयतन तीन लंबाइयों का गुणनफल है, अत: वह व्यापक रूप में घात 3 की राशि है। इनमें से दो को नियत कर देने पर 7 × 11 केवल एक संख्या 77 बन जाता है, और बक्सा 77 घन सेंटीमीटर की एक-जैसी परतें चढ़ाकर बढ़ता है — ऊँचाई के प्रत्येक सेंटीमीटर पर एक परत। अत: h में समान अंतराल V में समान अंतर देते हैं, और प्रत्येक 4 सेंटीमीटर पर वह अंतर 4 × 77 = 308 घन सेंटीमीटर है।
स्वयं जाँचिए: 1001 − 693 = 308 और 693 − 385 = 308 — एक ही बार में तीनों आयतनों की अच्छी अंकगणितीय जाँच।
प्र5.
सरिता 500 पृष्ठों वाली एक पुस्तक पढ़ रही है। वह प्रतिदिन 20 पृष्ठ पढ़ती है। 15 दिनों के पश्चात कितने पृष्ठ पढ़ने शेष रह जाएँगे। इसे एक रैखिक प्रतिरूप के माध्यम से दर्शाइए।
उत्तर
15 दिनों में पढ़े गए पृष्ठ = 20 × 15 = 300
शेष पृष्ठ = 500 − 300 = 200 पृष्ठ
n दिनों के पश्चात शेष पृष्ठ = 500 − 20n
दिन n0510152025
शेष पृष्ठ5004003002001000
यह रैखिक प्रतिरूप क्यों है: शेष पृष्ठों की संख्या प्रतिदिन उतने ही 20 पृष्ठ घटती है, अत: क्रमागत पदों का अंतर अचर −20 है। यही अचर अंतर रैखिक प्रतिरूप की परिभाषा है और वही 500 − 20n में n का गुणांक है। कमी न तेज़ होती है न धीमी, इसीलिए 20 को पंद्रह बार घटाने के स्थान पर हम सीधे 15वें दिन तक छलाँग लगा सकते हैं।
संकेत: 500 − 20n = 0 हल कीजिए — वह पुस्तक 25वें दिन पूरी करेगी, और 500 ठीक 25 × 20 है, अत: अंतिम दिन भी पूरे दिन का पाठ होगा।
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