कक्षा ९ गणित अध्याय 2 प्रश्नावली 2.4 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

मान लीजिए कि एक पौधे की ऊँचाई 1.75 फुट है और इसमें प्रतिमाह 0.5 फुट की वृद्धि होती है। (i) 7 महीनों के पश्चात पौधे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (ii) t के 0 से 10 महीनों तक के परिवर्ती मानों के लिए एक तालिका बनाइए और दर्शाइए कि कैसे ऊँचाई h के मान में प्रतिमाह वृद्धि होती है। (iii) एक व्यंजक ज्ञात कीजिए जो h और t में संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए कि यह व्यंजक रैखिक वृद्धि को क्यों व्यक्त करता है।

उत्तर

(i) 0.5 फुट प्रतिमाह की दर से सात महीनों में 3.5 फुट की वृद्धि होती है।

h = 1.75 + 0.5 × 7
= 1.75 + 3.5
= 5.25 फुट

(ii)

महीना t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ऊँचाई h (फुट)	1.75	2.25	2.75	3.25	3.75	4.25	4.75	5.25	5.75	6.25	6.75

(iii)

h = 1.75 + 0.5t

यह रैखिक वृद्धि क्यों है: दो क्रमागत ऊँचाइयों को घटाइए और देखिए कि क्या शेष बचता है।

h(t + 1) − h(t) = [1.75 + 0.5(t + 1)] − [1.75 + 0.5t]
= 0.5

t पूर्णत: कट जाता है, अत: प्रत्येक चरण पर मासिक वृद्धि वही निश्चित 0.5 फुट रहती है — पौधा ऊँचा होने पर तेज़ी से नहीं बढ़ता। समान अंतरालों पर एक निश्चित धनात्मक राशि का जुड़ना ही रैखिक वृद्धि की परिभाषा है। व्यंजक की घात 1 है, अचर 1.75 t = 0 पर की ऊँचाई है और 0.5 ढलान है।

स्वयं जाँचिए: तालिका में प्रत्येक अंतर +0.50 फुट है और 7 महीने की प्रविष्टि 5.25 भाग (i) से मेल खाती है।

प्र2.

एक मोबाइल फोन ₹10,000 में क्रय किया गया। इसके मूल्य में प्रतिवर्ष ₹800 का ह्रास होता है। (i) 3 वर्षों के पश्चात फोन का मूल्य ज्ञात कीजिए। (ii) t के 0 से 8 वर्षों तक के परिवर्ती मानों के लिए एक तालिका बनाइए और दर्शाइए कि किस प्रकार फोन का मूल्य समय के साथ कम होता है। (iii) एक व्यंजक ज्ञात कीजिए, जो v और t में संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए कि यह रैखिक ह्रास को क्यों व्यक्त करता है।

उत्तर

(i)

v = 10000 − 800 × 3
= 10000 − 2400
= ₹7600

(ii)

वर्ष t	0	1	2	3	4	5	6	7	8
मूल्य v (₹)	10000	9200	8400	7600	6800	6000	5200	4400	3600

(iii)

v = 10000 − 800t

यह रैखिक ह्रास क्यों है: प्रत्येक t के लिए v(t + 1) − v(t) = −800 है — समान अंतरालों पर एक निश्चित राशि घटाई जाती है और t का गुणांक ऋणात्मक है। ध्यान दीजिए कि यह प्रतिरूप क्या मान लेता है: फोन अपने आठवें वर्ष में भी उतने ही ₹800 खोता है जितने पहले वर्ष में। वास्तविक मूल्यह्रास प्राय: एक निश्चित प्रतिशत होता है, जो रैखिक नहीं होता। सरल रेखा वाली यही मान्यता यहाँ की गणना को इतना सरल बनाती है।

संकेत: प्रतिरूप 10000 − 800t = 0, अर्थात t = 12.5 वर्ष पर समाप्त हो जाता है। उसके आगे मूल्य ऋणात्मक होगा, जो किसी पुराने फोन का नहीं होता।

प्र3.

एक गाँव की प्रारंभिक जनसंख्या 750 है। प्रतिवर्ष 50 व्यक्ति समीपस्थ शहर से गाँव में विस्थापित होते हैं। (i) 6 वर्षों के पश्चात गाँव की जनसंख्या ज्ञात कीजिए। (ii) t के 0 से 10 वर्षों तक के परिवर्ती मानों के लिए एक तालिका बनाइए और दर्शाइए कि कैसे जनसंख्या P के मान में प्रतिवर्ष वृद्धि होती है। (iii) एक व्यंजक ज्ञात कीजिए जो P और t में संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए कि यह व्यंजक रैखिक वृद्धि को क्यों व्यक्त करता है।

उत्तर

(i)

P = 750 + 50 × 6
= 750 + 300
= 1050 व्यक्ति

(ii)

वर्ष t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
जनसंख्या P	750	800	850	900	950	1000	1050	1100	1150	1200	1250

(iii)

P = 750 + 50t

यह रैखिक वृद्धि क्यों है: वार्षिक वृद्धि P(t + 1) − P(t) = +50 है, प्रत्येक वर्ष वही संख्या, अत: समान समयांतराल जनसंख्या में समान वृद्धि लाते हैं। यह देखना उपयोगी है कि ऐसा क्यों है: 50 व्यक्ति शहर से आते हैं, गाँव के भीतर से नहीं, अत: आने वालों की संख्या इस पर निर्भर नहीं करती कि गाँव कितना बड़ा हो चुका है। यदि गाँव प्रति निवासी एक निश्चित जन्म-दर से बढ़ता, तो वार्षिक वृद्धि स्वयं बढ़ती जाती और प्रतिरूप रैखिक न रहता।

यह कीजिए: गाँव की जनसंख्या पहली बार 2000 कब पार करेगी? 750 + 50t > 2000 से t > 25, अर्थात 26वें वर्ष में।

प्र4.

एक दूरभाष कंपनी किसी विशेष रिचार्ज योजना के लिए ₹600 शुल्क लेती है। रिचार्ज के पश्चात अग्रिम जमा राशि में से प्रतिदिन ₹15 कम होते हैं। (i) एक समीकरण लिखिए, जो x दिनों तक योजना का उपयोग करने के पश्चात शेष धनराशि b(x) को दर्शाता है। (ii) कितने दिनों के पश्चात यह शेष धनराशि (बैलेंस) समाप्त हो जाएगी? (iii) x के 1 से 10 दिनों के परिवर्ती मानों के लिए एक तालिका बनाइए और दर्शाइए कि कैसे शेष राशि b(x) समय के साथ कम होती जाती है।

उत्तर

(i)

b(x) = 600 − 15x

यह रैखिक ह्रास है क्योंकि प्रत्येक x के लिए b(x + 1) − b(x) = −15 है: समान अंतरालों पर एक निश्चित राशि घटती है और x का गुणांक ऋणात्मक है। इसका आलेख (0, 600) से नीचे की ओर जाती सरल रेखा होगी।

(ii) शेष राशि तब समाप्त होगी जब b(x) = 0 हो।

600 − 15x = 0
15x = 600
x = 40 दिन

(iii)

दिन x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
शेष राशि b(x) (₹)	585	570	555	540	525	510	495	480	465	450

बहुपद का शून्य (ii) का उत्तर क्यों देता है: “शेष राशि समाप्त हो जाना” का अर्थ है कि मशीन का निर्गत 0 है, अत: हम पूछते हैं कि कौन-सा आगत b को 0 बनाता है। a ≠ 0 वाले रैखिक बहुपद ax + b के लिए ऐसा आगत ठीक एक ही होता है, x = −b/a — यहाँ −600/(−15) = 40। इसीलिए रैखिक प्रतिरूप में “कब समाप्त होगा?” प्रकार के प्रश्नों का सदैव एक स्पष्ट उत्तर होता है।

स्वयं जाँचिए: तालिका में प्रत्येक स्तंभ ठीक ₹15 घटता है, और 10वें दिन ₹450 से यही गिरावट 30 दिन और चलाने पर 40वें दिन ₹0 पर पहुँचती है।

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