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कक्षा ९ गणित अध्याय 2 प्रश्नावली 2.5 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
एक अधिगम मंच (लर्निंग प्लेटफार्म) एक निश्चित मासिक शुल्क लेता है और साथ ही प्रति डिजिटल अधिगम मॉड्यूल के लिए अतिरिक्त शुल्क लेता है। एक विद्यार्थी ध्यान देती है कि जब उसने 10 मॉड्यूल्स प्राप्त किए तो उसका बिल ₹400 था और जब उसने 14 मॉड्यूल प्राप्त किए तो उसका बिल ₹500 था। यदि मासिक बिल y, प्राप्त किए गए मॉड्यूल की संख्या x पर निर्भर करता है तो संबंध y = ax + b के अनुसार a और b के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर

दोनों प्रेक्षणों को y = ax + b में प्रतिस्थापित कीजिए।

400 = 10a + b   …(1)
500 = 14a + b   …(2)

(2) में से (1) घटाने पर b समाप्त हो जाता है —

100 = 4a
a = 25
(1) से: b = 400 − 10(25) = 400 − 250 = 150
a = 25,   b = 150,   अत: y = 25x + 150

जाँच: x = 10 पर 250 + 150 = ₹400 ✓ और x = 14 पर 350 + 150 = ₹500। ✓

ठीक दो प्रेक्षण क्यों पर्याप्त हैं: y = ax + b में दो अज्ञात राशियाँ छिपी हैं, अत: दो स्वतंत्र तथ्य चाहिए। प्रत्येक बिल एक समीकरण देता है और उन्हें घटाने पर b एक ही चरण में समाप्त हो जाता है — बिलों का अंतर ₹100 केवल 4 अतिरिक्त मॉड्यूल के कारण है, अत: दर 100 ÷ 4 = ₹25 प्रति मॉड्यूल होनी चाहिए। शेष बचा ₹150 निश्चित शुल्क है। ज्यामितीय रूप से, दो बिंदु एक ही सरल रेखा निर्धारित करते हैं।
संकेत: समीकरणों को घटाना प्रतिस्थापन से तेज़ है, और अर्थ भी वहीं छिपा है: a = (y में परिवर्तन) ÷ (x में परिवर्तन)।
प्र2.
एक व्यायामशाला (जिम) एक निश्चित मासिक शुल्क और प्रति घंटा बैडमिंटन कोर्ट का उपयोग करने के लिए अतिरिक्त शुल्क लेती है। जिम जाने वाली एक विद्यार्थी ध्यान देती है कि जब उसने 10 घंटे के लिए बैडमिंटन कोर्ट का उपयोग किया तो उसका बिल ₹800 था और जब उसने बैडमिंटन कोर्ट का उपयोग 15 घंटे के लिए किया तो उसका बिल ₹1100 था। यदि मासिक बिल y, बैडमिंटन कोर्ट उपयोग करने के घंटों x पर निर्भर करता है तो संबंध y = ax + b के अनुसार a और b के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर
800 = 10a + b   …(1)
1100 = 15a + b   …(2)

(2) − (1):

300 = 5a
a = 60
(1) से: b = 800 − 10(60) = 800 − 600 = 200
a = 60,   b = 200,   अत: y = 60x + 200

जाँच: 60(15) + 200 = 900 + 200 = ₹1100। ✓

उत्तर को परिस्थिति में लौटाकर पढ़िए: कोर्ट का शुल्क ₹60 प्रति घंटा है और जिम प्रतिमाह निश्चित ₹200 लेती है, चाहे कोर्ट का उपयोग हो या न हो। यही पढ़ना बीजगणित को सार्थक बनाता है: दोनों बिलों के बीच का अतिरिक्त ₹300 ठीक 5 अतिरिक्त घंटों का था, अत: एक घंटा ₹60 का; और 10 घंटों के ₹800 में ₹600 कोर्ट का समय है तथा ₹200 कोर्ट से कभी संबंधित ही नहीं था।
यह कीजिए: 20 घंटों का बिल कितना होगा? 60(20) + 200 = ₹1400। और किस बिल पर उसे 25 घंटे मिलेंगे? ₹1700।
प्र3.
डिग्री सेल्सियस (°C) और डिग्री फॉरेनहाइट (°F) में मापे गए तापमान के मध्य संबंध पर °C = a°F + b के अनुसार विचार कीजिए। दिया गया है कि बर्फ 0 डिग्री सेल्सियस और 32 डिग्री फॉरेनहाइट पर पिघलती है और पानी 100 डिग्री सेल्सियस और 212 डिग्री फॉरेनहाइट पर उबलता है तो a व b के मान ज्ञात कीजिए। (संकेत — जब °C = 0 तो °F = 32 और जब °C = 100 तो °F = 212 है। इस जानकारी का उपयोग करके a व b के मान तथा °C व °F के मध्य रैखिक संबंध ज्ञात कीजिए।)
उत्तर

यहाँ °F आगत है और °C निर्गत। दोनों नियत बिंदुओं से —

0 = 32a + b   …(1)   (बर्फ पिघलती है)
100 = 212a + b   …(2)   (पानी उबलता है)

(2) − (1):

100 = 180a
a = 100/180 = 5/9
(1) से: b = −32a = −32 × 5/9 = −160/9
a = 5/9,   b = −160/9
°C = (5/9)°F − 160/9 = (5/9)(°F − 32)

जाँच: °F = 32 पर (5/9)(0) = 0 °C ✓; °F = 212 पर (5/9)(180) = 100 °C। ✓

ढलान 5/9 क्यों है: पिघलने और उबलने के बीच सेल्सियस 100 डिग्री चलता है जबकि फॉरेनहाइट 212 − 32 = 180 डिग्री। एक ही भौतिक अंतराल को एक पैमाने पर 100 भागों में और दूसरे पर 180 भागों में बाँटा गया है, अत: एक फॉरेनहाइट डिग्री एक सेल्सियस डिग्री का 100/180 = 5/9 है — और यही अनुपात ढलान है। अचर −160/9 केवल इसलिए है कि दोनों पैमाने अपना शून्य भिन्न स्थानों पर रखते हैं; उसे (5/9)(°F − 32) के रूप में बाहर निकाल लेने पर यह विस्थापन स्पष्ट दिखने लगता है।
यह कीजिए: दिल्ली का सुहावना शीत दिवस 68 °F वस्तुत: (5/9)(68 − 32) = (5/9)(36) = 20 °C है। दोनों पैमाने −40 पर मिलते हैं — जाँचिए कि −40 °F ही −40 °C है।
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