कक्षा ९ गणित अध्याय 2 प्रश्नावली 2.6 के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए — (i) y = 4x, y = 2x, y = x
उत्तर
तीनों में b = 0 है, अत: मूलबिंदु और एक अन्य बिंदु अंकित कीजिए।
रेखा
प्रयुक्त बिंदु
a (ढलान)
b (y-अंतःखंड)
y = 4x
(0, 0), (1, 4)
4
0
y = 2x
(0, 0), (2, 4)
2
0
y = x
(0, 0), (4, 4)
1
0
y = 4x, y = 2x और y = x: y-अंतःखंड समान (0), ढलान बढ़ते हुए, ढाल बढ़ती हुई।
यहाँ a और b की भूमिका: तीनों में b = 0 है, अत: तीनों मूलबिंदु से बँधी हैं — शून्य y-अंतःखंड का यही अर्थ है। बदलने के लिए केवल a शेष है और वही झुकाव तय करता है: 1 इकाई क्षैतिज चाल पर y = 4x 4 उठती है, y = 2x 2 और y = x 1। सभी ढलान धनात्मक हैं, अत: तीनों रैखिक वृद्धि दर्शाती हैं और मूलबिंदु से पंखे की तरह फैलती हैं, कभी समानांतर नहीं होतीं।
स्वयं जाँचिए:x = 3 पर ऊँचाइयाँ 12, 6 और 3 हैं। मूलबिंदु के दाईं ओर सबसे अधिक ढलान वाली रेखा सदैव सबसे ऊपर रहती है — और बाईं ओर सबसे नीचे।
प्र2.
नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए — (ii) y = – 6x, y = – 3x, y = – x
उत्तर
रेखा
प्रयुक्त बिंदु
a (ढलान)
b
y = −6x
(0, 0), (1, −6)
−6
0
y = −3x
(0, 0), (1, −3)
−3
0
y = −x
(0, 0), (3, −3)
−1
0
तीनों मूलबिंदु से होकर बाएँ से दाएँ गिरती हैं; ढलान जितना अधिक ऋणात्मक, गिरावट उतनी तेज़।
यहाँ a और b की भूमिका: फिर b = 0 है, अत: तीनों मूलबिंदु से जाती हैं। सभी ढलान ऋणात्मक हैं, अत: तीनों रैखिक ह्रास के चित्र हैं: x को 1 बढ़ाने पर y क्रमश: 6, 3 और 1 घटता है। ढाल इस बात से तय होती है कि a शून्य से कितनी दूर है, उसके चिह्न से नहीं — y = −6x तीनों में सबसे अधिक ढाल वाली है और ठीक उतनी ही ढाल वाली है जितनी y = 6x होती, केवल झुकाव दूसरी ओर है।
संकेत: इस समूह की (i) से तुलना कीजिए — y = −x, y = x का x-अक्ष में दर्पण प्रतिबिंब है, और यही अन्य युग्मों के लिए भी सत्य है।
प्र3.
नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए — (iii) y = 5x, y = –5x
उत्तर
रेखा
प्रयुक्त बिंदु
a
b
y = 5x
(0, 0), (1, 5)
5
0
y = −5x
(0, 0), (1, −5)
−5
0
समान परिमाण और विपरीत चिह्न वाले ढलान: दोनों रेखाएँ मूलबिंदु पर कटती हैं और x-अक्ष से समान कोण बनाती हैं।
यहाँ a और b की भूमिका: दोनों ढलानों का परिमाण समान 5 है और चिह्न विपरीत, जबकि दोनों के लिए b = 0 है। अत: दोनों रेखाएँ समान ढाल वाली हैं और अपने उभयनिष्ठ बिंदु, मूलबिंदु, पर कटती हैं। एक वृद्धि दर्शाती है, दूसरी ह्रास। y = 5x में x के स्थान पर −x रखने पर y = −5x मिलता है, जिसका अर्थ है कि यह युग्म y-अक्ष के सापेक्ष सममित है; y के स्थान पर −y रखने पर भी वही युग्म मिलता है, अत: यह x-अक्ष के सापेक्ष भी सममित है।
स्वयं जाँचिए:x = 2 पर रेखाएँ y = 10 और y = −10 पर हैं — x-अक्ष से समान दूरी पर, विपरीत दिशाओं में।
प्र4.
नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए — (iv) y = 3x – 1, y = 3x, y = 3x + 1
उत्तर
रेखा
प्रयुक्त बिंदु
a
b
y = 3x − 1
(0, −1), (1, 2)
3
−1
y = 3x
(0, 0), (1, 3)
3
0
y = 3x + 1
(0, 1), (1, 4)
3
1
ढलान समान 3, अंतःखंड −1, 0 और 1: तीन समानांतर रेखाएँ, प्रत्येक पिछली से 1 इकाई ऊपर।
यहाँ a और b की भूमिका: यह (i) का ठीक उल्टा प्रयोग है। अब a नियत है और b बदल रहा है, अत: झुकाव बदल ही नहीं सकता — रेखाएँ समानांतर हैं। किसी भी चुने हुए x पर y = 3x + 1 और y = 3x के बीच ऊर्ध्व अंतर (3x + 1) − 3x = 1 है, हर जगह वही, इसलिए तीनों रेखाएँ कभी पास नहीं आतीं। b बदलने से पूरी रेखा ऊर्ध्व दिशा में खिसकती है; a बदलने से वह घूमती।
संकेत: दो रेखाएँ ठीक तभी समानांतर होती हैं जब उनके ढलान बराबर हों और अंतःखंड बराबर न हों। ढलान और अंतःखंड दोनों बराबर होने पर वे एक ही रेखा हो जाएँगी।
प्र5.
नीचे दिए गए रेखा समूहों के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थिति में ‘a’ और ‘b’ की भूमिका को व्यक्त कीजिए — (v) y = –2x – 3, y = –2x, y = 2x + 3
उत्तर
रेखा
प्रयुक्त बिंदु
a
b
y = −2x − 3
(0, −3), (−2, 1)
−2
−3
y = −2x
(0, 0), (2, −4)
−2
0
y = 2x + 3
(0, 3), (1, 5)
2
3
पहली दो समानांतर हैं (ढलान −2); तीसरी का ढलान +2 है, अत: वह दोनों को काटती है।
यहाँ a और b की भूमिका: पहली दो रेखाओं का ढलान समान −2 है और वे केवल b में भिन्न हैं, अत: वे समानांतर हैं और उनके बीच ऊर्ध्व अंतर सर्वत्र 3 है। तीसरी रेखा का ढलान +2 है, जो भिन्न संख्या है, इसलिए वह उनके समानांतर नहीं है — वह दोनों को ठीक एक-एक बार काटती है। 2x + 3 = −2x हल करने पर 4x = −3, x = −¾, अत: वह y = −2x से (−¾, 1½) पर मिलती है; और 2x + 3 = −2x − 3 से x = −½, अर्थात बिंदु (−½, 2)।
क्या आप जानते हैं? समूह (i) से (iv) तक हर बार एक ही बात बदली गई थी। समूह (v) उन्हें जान-बूझकर मिलाता है, ताकि आप समानांतरता का निर्णय छपे हुए समीकरणों की बनावट से नहीं, ढलानों की तुलना से करें। यदि तीसरी रेखा y = −2x + 3 होती तो तीनों समानांतर होतीं — उस स्थिति में उत्तर का स्वरूप कैसा होता, इसकी तुलना कीजिए।
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