क्या चित्र 2.13 में दिए गए आलेख में आपको रैखिक समीकरण y = ax + b के विषय में कोई निष्कर्ष निकालने में सहायता मिलती है, जब a का मान निश्चित है और b का मान परिवर्तित होता रहता है? (संकेत — उदाहरण 16 में दिए गए समीकरणों में a = 2 है और b का मान क्रमश: –1, 1 और 5 हैं।)

Question

क्या चित्र 2.13 में दिए गए आलेख में आपको रैखिक समीकरण y = ax + b के विषय में कोई निष्कर्ष निकालने में सहायता मिलती है, जब a का मान निश्चित है और b का मान परिवर्तित होता रहता है? (संकेत — उदाहरण 16 में दिए गए समीकरणों में a = 2 है और b का मान क्रमश: &#8211;1, 1 और 5 हैं।)

Accepted Answer

हाँ। a = 2 नियत और b = &#8722;1, 1, 5 होने पर तीनों रेखाएँ समानांतर हैं — झुकाव समान, ऊँचाई भिन्न। रेखा ढलान a y-अंतःखंड b y-अक्ष को काटती है y = 2 x &#8722; 1 2 &#8722;1 (0, &#8722;1) y = 2 x + 1 2 1 (0, 1) y = 2 x + 5 2 5 (0, 5) x y -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 y = 2x &#8722; 1 y = 2x + 1 y = 2x + 5 b बदलने पर रेखा सीधी ऊपर या नीचे खिसकती है; झुकाव कभी नहीं बदलता, अत: तीनों कभी नहीं मिलतीं। वे कभी मिल क्यों नहीं सकतीं: मान लीजिए किसी x पर 2 x + b &#8321; = 2 x + b &#8322; हो। 2 x कट जाता है और शेष बचता है b &#8321; = b &#8322;। अत: समान ढलान और भिन्न अंतःखंड वाली दो रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु होता ही नहीं — वे समानांतर हैं। इससे भी अच्छा: किसी भी x पर y = 2 x + 5 और y = 2 x + 1 के बीच ऊर्ध्व अंतर (2 x + 5) &#8722; (2 x + 1) = 4 है, हर जगह वही। अचर अंतर का ही दूसरा नाम &#8220;समानांतर&#8221; है। संकेत: रैखिक व्यंजक में b जोड़ने से उसका आलेख b इकाई ऊर्ध्व दिशा में खिसक जाता है — b धनात्मक हो तो ऊपर, ऋणात्मक हो तो नीचे। ढलान परिवर्तन की दर है, अत: अचर जोड़ने से वह अछूती रहती है।

रेखा	ढलान a	y-अंतःखंड b	y-अक्ष को काटती है
y = 2x − 1	2	−1	(0, −1)
y = 2x + 1	2	1	(0, 1)
y = 2x + 5	2	5	(0, 5)

कक्षा ९ गणित अध्याय 2 सोचिए और विचार कीजिए के लिए एनसीईआरटी समाधान