कक्षा ९ गणित अध्याय 2 अंतिम प्रश्नावली के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

एक बहुपद लिखिए जिसमें चर x हो, घात 3 हो और x² पद का गुणांक − 7 हो।

उत्तर

उदाहरण के लिए: x³ − 7x² + 2x + 5

अन्य सही उत्तर: 4x³ − 7x², −x³ − 7x² + 1, 2x³ − 7x² − 3x।

दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
• घात 3 का अर्थ है कि x³ का गुणांक अशून्य हो। केवल −7x² + 2x + 5 लिखने पर दूसरी शर्त तो पूरी होती है, किंतु घात 2 रह जाती है, 3 नहीं।
• x² पद ठीक −7x² होना चाहिए, चिह्न सहित।
शेष सब स्वतंत्र है: x वाला पद और अचर पद कोई भी संख्याएँ हो सकती हैं, यहाँ तक कि 0 भी। इसीलिए उत्तर अद्वितीय नहीं है — शर्तें चार में से दो गुणांक निश्चित करती हैं और दो चुनने के लिए छोड़ देती हैं।

स्वयं जाँचिए: x³ − 7x² + 2x + 5 में क्रमश: गुणांक 1, −7, 2, 5 हैं। पहला शून्य नहीं है (घात 3 ✓) और दूसरा −7 है ✓।

प्र2.

चरों के दिए गए मानों से नीचे दिए गए बहुपदों के मान ज्ञात कीजिए — (i) 5x² − 3x + 7 यदि x = 1 हो। (ii) 4t³ – t² + 6 यदि t = a हो।

उत्तर

(i) x = 1 प्रतिस्थापित कीजिए।

5(1)² − 3(1) + 7
= 5 − 3 + 7
= 9

(ii) t = a प्रतिस्थापित कीजिए। आगत एक अक्षर है, अत: निर्गत भी एक व्यंजक होगा।

4a³ − a² + 6
= 4a³ − a² + 6

(ii) कोई चाल नहीं है: बहुपद का मान ज्ञात करने का अर्थ है चर के स्थान पर जो दिया गया हो वही रखना — संख्या, कोई दूसरा अक्षर, या पूरा व्यंजक भी। कहीं यह नहीं कहा गया कि आगत संख्यात्मक ही हो। यहाँ प्रत्येक t के स्थान पर a आ जाता है और आगे कोई अंकगणित संभव नहीं, अत: उत्तर सांकेतिक ही रहता है। यह भी ध्यान दीजिए कि (i) में x = 1 पर मान गुणांकों का योग ही है, 5 + (−3) + 7 = 9, क्योंकि 1 की प्रत्येक घात 1 होती है — यह याद रखने योग्य त्वरित जाँच है।

यह कीजिए: (ii) वाले बहुपद का मान t = 2a पर ज्ञात कीजिए। 4(2a)³ − (2a)² + 6 = 32a³ − 4a² + 6 मिलना चाहिए — कोष्ठक अनिवार्य हैं।

प्र3.

यदि हम किसी संख्या को 5/2 से गुणा करते हैं और उसके गुणनफल में 2/3 का योग करते हैं तो हमें –7/12 प्राप्त होता है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर

मान लीजिए वह संख्या x है। कथन सीधे एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है।

(5/2)x + 2/3 = −7/12
(5/2)x = −7/12 − 2/3
= −7/12 − 8/12
= −15/12 = −5/4
x = (−5/4) × (2/5)
x = −10/20 = −1/2

जाँच: (5/2)(−1/2) = −5/4; और −5/4 + 2/3 = −15/12 + 8/12 = −7/12। ✓

ल.स. 12 ही सही हर क्यों है: −7/12 में से 2/3 घटाने के लिए दोनों का हर समान होना चाहिए, और 12, 12 व 3 का लघुत्तम समापवर्त्य है। इसके बाद 5/2 से भाग देना उसके व्युत्क्रम 2/5 से गुणा करने के समान है — भिन्नों के लिए “गुणा को उलटने” का यही अर्थ है। बहुपद (5/2)x + 2/3 रैखिक है, अत: इस समीकरण का ठीक एक हल है।

संकेत: दूसरा तरीका यह है कि आरंभ में ही सभी भिन्नें हटा दी जाएँ: पूरे समीकरण को 12 से गुणा कीजिए तो 30x + 8 = −7, अत: 30x = −15 और x = −½। उत्तर वही, बीच में भिन्नों का काम नहीं।

प्र4.

कोई धनात्मक संख्या किसी अन्य संख्या की 5 गुना है। यदि दोनों संख्याओं में 21 जोड़ दिया जाए तो प्राप्त दोनों संख्याओं में से एक संख्या दूसरी संख्या की दोगुनी है। दोनों मूल संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर

मान लीजिए छोटी संख्या x है। तब दूसरी 5x है। 21 जोड़ने पर वे x + 21 और 5x + 21 हो जाती हैं।

इनमें 5x + 21 बड़ी है, अत: वही दूसरी की दोगुनी होगी।

5x + 21 = 2(x + 21)
5x + 21 = 2x + 42
3x = 21
x = 7

दोनों संख्याएँ 7 और 35 हैं।

जाँच: 21 जोड़ने पर 28 और 56 मिलते हैं, तथा 56 = 2 × 28। ✓

दूसरी स्थिति क्यों अस्वीकृत है: “एक संख्या दूसरी की दोगुनी” में दो संभावनाएँ हैं और दोनों जाँचनी चाहिए। x + 21 = 2(5x + 21) लेने पर x + 21 = 10x + 42, अत: 9x = −21 और x = −7/3। यह धनात्मक संख्या नहीं है, जबकि प्रश्न में संख्या धनात्मक कही गई है, अत: यह शाखा छोड़ दी जाती है। दोनों शाखाएँ जाँचकर एक को अस्वीकार करना ही ईमानदार हल है — उत्तर अद्वितीय तो है, किंतु धनात्मकता की शर्त लगाने के बाद ही।

स्वयं जाँचिए: दोनों संख्याओं में वही 21 जोड़ने से अनुपात 5 : 1 से घटकर 2 : 1 हो जाता है, इसीलिए x का एक ही मान उसे ठीक 2 : 1 पर लाता है।

प्र5.

यदि आपके पास ₹800 हैं और आप प्रतिमाह ₹250 की बचत करते हैं तो वह धनराशि ज्ञात कीजिए, जो आपके पास होगी — (i) 6 महीनों के पश्चात (ii) 2 वर्षों के पश्चात। इसे रैखिक प्रतिरूप के रूप में व्यक्त कीजिए।

उत्तर

मान लीजिए n महीनों की संख्या है। धनराशि A = 800 + 250n है।

(i) n = 6: 800 + 250(6) = 800 + 1500 = ₹2300
(ii) 2 वर्ष = 24 महीने, अत: n = 24:
800 + 250(24) = 800 + 6000 = ₹6800

रैखिक प्रतिरूप: A = ₹(800 + 250n)

महीना n	0	1	2	3	6	12	24
धनराशि (₹)	800	1050	1300	1550	2300	3800	6800

यह रैखिक प्रतिरूप क्यों है: क्रमागत राशियों का अंतर अचर ₹250 है, अर्थात प्रत्येक n के लिए A(n + 1) − A(n) = 250। ₹800 वह मान है जो n = 0 पर है — अचर पद, अर्थात y-अंतःखंड — और 250 ढलान है। अंतर कभी नहीं बदलता, इसीलिए ₹250 चौबीस बार जोड़ने के स्थान पर हम सीधे n = 24 पर पहुँच सकते हैं।

संकेत: सबसे सामान्य भूल “2 वर्ष” के लिए n = 2 लेना है। बचत मासिक है, अत: n की इकाई महीने ही होनी चाहिए: 2 वर्ष = 24 महीने।

प्र6.

एक दो-अंकीय संख्या के अंकों के मध्य का अंतर 3 है। यदि संख्या के दोनों अंकों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए और प्राप्त संख्या को मूल संख्या में जोड़ दिया जाए तो हमें योगफल 143 प्राप्त होता है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर

मान लीजिए दहाई का अंक t और इकाई का अंक u है।

मूल संख्या = 10t + u
अंक बदलने पर संख्या = 10u + t
योगफल = 11t + 11u = 11(t + u) = 143
t + u = 143 ÷ 11 = 13

साथ ही अंकों का अंतर 3 है, अत: दोनों अंकों का योग 13 और अंतर 3 है —

अंक = (13 + 3)/2 = 8 और (13 − 3)/2 = 5

दोनों संख्याएँ 85 और 58 हैं।

जाँच: 85 + 58 = 143 ✓ और 8 − 5 = 3। ✓

योगफल सदैव 11 का गुणज क्यों होता है: किसी दो-अंकीय संख्या में उसकी उलटी संख्या जोड़ने पर (10t + u) + (10u + t) = 11(t + u) मिलता है। प्रत्येक अंक एक बार दहाई के रूप में और एक बार इकाई के रूप में गिना जाता है, अत: वह अपने मान का 11 गुना योगदान देता है। इसीलिए 143 — जो 11 × 13 है — यहाँ संभव है; यदि योग 145 होता तो कोई भी दो-अंकीय संख्या उसे नहीं दे सकती थी। ध्यान दीजिए कि योगफल केवल t + u पर निर्भर करता है, अत: वह अकेला 85 और 58 में भेद नहीं कर सकता; “अंतर 3” वाली शर्त अंकों का युग्म निश्चित कर देती है और दोनों क्रम उत्तर हैं।

स्वयं जाँचिए: जिनका योग 13 हो वे अंक-युग्म हैं (4, 9), (5, 8), (6, 7)। इनमें केवल (5, 8) का अंतर 3 है, अत: 85 / 58 ही एकमात्र उत्तर है।

प्र7.

नीचे दिए गए समीकरणों के आलेख बनाइए और उनके ढलानों व y-अंतःखंडों की पहचान कीजिए। साथ ही उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ ये रेखाएँ y-अक्ष को प्रतिच्छेद करती हैं। (i) y = –3x + 4 (ii) 2y = 4x + 7 (iii) 5y = 6x – 10 (iv) 3y = 6x – 11. क्या इनमें से कोई भी रेखा परस्पर समानांतर है?

उत्तर

पहले प्रत्येक समीकरण को y के गुणांक से भाग देकर y = ax + b के रूप में लाइए। तब a ढलान है, b y-अंतःखंड, और रेखा y-अक्ष को (0, b) पर काटती है।

समीकरण	y = ax + b रूप में	ढलान a	y-अंतःखंड b	y-अक्ष पर बिंदु
(i) y = −3x + 4	y = −3x + 4	−3	4	(0, 4)
(ii) 2y = 4x + 7	y = 2x + 7/2	2	7/2 = 3.5	(0, 3.5)
(iii) 5y = 6x − 10	y = (6/5)x − 2	6/5 = 1.2	−2	(0, −2)
(iv) 3y = 6x − 11	y = 2x − 11/3	2	−11/3	(0, −11/3)

चारों रेखाएँ। (ii) और (iv) कभी नहीं मिलतीं — दोनों का ढलान 2 है।

प्रत्येक रेखा के लिए दो सुविधाजनक बिंदु —

रेखा	बिंदु A	बिंदु B
(i)	(0, 4)	(2, −2)
(ii)	(0, 3.5)	(2, 7.5)
(iii)	(0, −2)	(5, 4)
(iv)	(1, −5/3)	(4, 13/3)

समानांतर रेखाएँ: हाँ — (ii) और (iv)।

(ii) और (iv) समानांतर क्यों हैं और शेष क्यों नहीं: दोनों का ढलान 2 निकलता है और उनके y-अंतःखंड 7/2 व −11/3 भिन्न हैं, अत: वे कभी नहीं मिल सकतीं: 2x + 7/2 = 2x − 11/3 रखने पर 2x कट जाता है और 7/2 = −11/3 बचता है, जो असत्य है। ढलान −3, 2, 6/5, 2 देखने से स्पष्ट है कि और कोई युग्म मेल नहीं खाता। पहले भाग देना अनिवार्य है — छपे हुए रूप में (ii) और (iv) एक-दूसरे से बिलकुल भिन्न दिखते हैं, और केवल सरलीकृत रूप ही बताता है कि उनका ढलान समान है।

संकेत: y-अंतःखंड बिना पुनर्व्यवस्था के भी मिल जाता है — x = 0 रख दीजिए। (iv) में इससे 3y = −11, अर्थात y = −11/3 तुरंत मिल जाता है।

प्र8.

यदि किसी द्रव के तापमान को केल्विन इकाई में x K के रूप में और फॉरेनहाइट इकाई में y °F के रूप में मापा जाता है तो तापमान मापन की दोनों प्रणालियों के मध्य संबंध, रैखिक समीकरण y = (9/5)(x – 273) + 32 द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। (i) यदि द्रव का तापमान 313 K हो तो फॉरेनहाइट इकाई में द्रव का तापमान ज्ञात कीजिए। (ii) यदि द्रव का तापमान 158 °F हो तो केल्विन इकाई में द्रव का तापमान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

(i) x = 313 रखिए।

y = (9/5)(313 − 273) + 32
= (9/5)(40) + 32
= 72 + 32
= 104 °F

(ii) y = 158 रखकर उलटी दिशा में चलिए।

158 = (9/5)(x − 273) + 32
158 − 32 = (9/5)(x − 273)
126 = (9/5)(x − 273)
x − 273 = 126 × (5/9) = 70
x = 70 + 273 = 343 K

जाँच: (9/5)(343 − 273) + 32 = (9/5)(70) + 32 = 126 + 32 = 158 °F। ✓

समीकरण इसी प्रकार क्यों बना है: (x − 273) केल्विन को सेल्सियस में बदलता है, क्योंकि दोनों पैमानों की डिग्री का आकार समान है किंतु केल्विन 273 नीचे से आरंभ होता है। 9/5 से गुणा करना सेल्सियस के अंतराल को फॉरेनहाइट के अंतराल में बदलता है — यह प्रश्नावली 2.5 के प्र.3 में मिले 5/9 का व्युत्क्रम है — और 32 जोड़ना शून्य को वहाँ खिसका देता है जहाँ फॉरेनहाइट हिमांक रखता है। भाग (ii) में इसे उलटने का अर्थ है वही तीन चरण विपरीत क्रम में करना: 32 घटाइए, 5/9 से गुणा कीजिए, 273 जोड़िए।

स्वयं जाँचिए: 313 K = 40 °C और 343 K = 70 °C। इनके बीच 30 सेल्सियस डिग्री हैं, अत: फॉरेनहाइट पाठ्यांकों में अंतर (9/5)(30) = 54 होना चाहिए — और 158 − 104 = 54। ✓

प्र9.

किसी वस्तु पर नियत बल लगाने पर वस्तु द्वारा किया जाने वाला कार्य, नियत बल व बल की दिशा में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी के गुणनफल के समान होता है। इसे दो चरों (कार्य w और दूरी d) में एक रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए। नियत बल को 3 इकाई लेते हुए आलेख बनाइए। यदि वस्तु द्वारा तय की गई दूरी 2 इकाई हो तो वस्तु द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए। किए गए कार्य के मान और संगत दूरी को आलेख में दर्शाते हुए इस मान की जाँच भी कीजिए।

उत्तर

शब्दों में: कार्य = बल × दूरी। बल 3 इकाई नियत लेने पर,

w = बल × d
w = 3d

यह दो चरों w और d में एक रैखिक समीकरण है, जिसका ढलान 3 और अचर पद 0 है।

दूरी d (इकाई)	0	1	2	3	4
कार्य w = 3d (इकाई)	0	3	6	9	12

d = 2 पर: w = 3 × 2 = 6 इकाई

w = 3d का आलेख। क्षैतिज अक्ष पर d = 2 से ऊपर जाने पर रेखा 6 की ऊँचाई पर मिलती है, जिससे गणना की पुष्टि होती है।

रेखा मूलबिंदु से क्यों जानी ही चाहिए: अचर पद 0 है, क्योंकि जो वस्तु चली ही नहीं उस पर कोई कार्य नहीं हुआ — d = 0 से w = 0 अनिवार्य है। ढलान 3 स्वयं बल है: दूरी की प्रत्येक अतिरिक्त इकाई 3 इकाई कार्य जोड़ती है, हर बार उतनी ही, और यही वह मान्यता है कि बल नियत है। यदि बल दूरी के साथ बदलता तो आलेख सरल रेखा नहीं होता।

संकेत: आलेख से मान पढ़ना गणना की पुष्टि के लिए है, उसके स्थान पर नहीं। यहाँ अंकगणित ठीक 6 देता है; आलेख दिखाता है कि रेखा वास्तव में वहीं है।

प्र10.

एक रैखिक बहुपद p(x) का आलेख बिंदुओं (1, 5) और (3, 11) से होकर जाता है। (i) बहुपद p(x) ज्ञात कीजिए। (ii) उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिन पर p(x) का आलेख दोनों अक्षों को प्रतिच्छेद करता है। (iii) p(x) का आलेख बनाइए और अपने उत्तरों की जाँच कीजिए।

उत्तर

(i) रैखिक बहुपद का रूप p(x) = ax + b है। दोनों बिंदुओं से दो समीकरण मिलते हैं।

a(1) + b = 5 …(1)
a(3) + b = 11 …(2)
(2) − (1): 2a = 6, अत: a = 3
(1) से: b = 5 − 3 = 2

p(x) = 3x + 2

(ii) आलेख y-अक्ष को x = 0 पर और x-अक्ष को p(x) = 0 पर काटता है।

x = 0: p(0) = 2 → y-अक्ष पर (0, 2)
p(x) = 0: 3x + 2 = 0 → x = −2/3 → x-अक्ष पर (−2/3, 0)

(iii)

p(x) = 3x + 2, जो y-अक्ष को (0, 2) पर और x-अक्ष को (−2/3, 0) पर काटती है। दिए गए बिंदु (1, 5) और (3, 11) इसी पर स्थित हैं।

जाँच: p(1) = 3 + 2 = 5 ✓ और p(3) = 9 + 2 = 11। ✓

ढलान घटाकर क्यों निकाला जाता है: दिए गए दोनों बिंदुओं के बीच x 3 − 1 = 2 बढ़ता है जबकि y 11 − 5 = 6 बढ़ता है। प्रति इकाई क्षैतिज चाल पर ऊर्ध्व वृद्धि 6 ÷ 2 = 3 है, और a का अर्थ यही है। समीकरण (2) में से (1) घटाना बीजगणित में वही अंकगणित करता है और साथ ही b को भी समाप्त कर देता है।
x-अंतःखंड ठीक एक ही क्यों है: 3x + 2 = 0 एक रैखिक समीकरण है जिसमें x का गुणांक अशून्य है, अत: उसका एक ही हल है। प्रत्येक अनचर रैखिक बहुपद का ठीक एक शून्यक होता है, इसीलिए उसका आलेख x-अक्ष को ठीक एक बार काटता है।

स्वयं जाँचिए: −2/3 ≈ −0.67, अत: कटान-बिंदु मूलबिंदु से थोड़ा-सा बाईं ओर है — यह उस रेखा के अनुरूप है जो x = 0 पर पहले ही 2 की ऊँचाई पर है और प्रति इकाई 3 चढ़ रही है।

प्र11.

मान लीजिए, दो रैखिक बहुपद p(x) = ax + b और q(x) = cx + d इस प्रकार हैं कि — (i) p(0) = 5 है। (ii) बहुपद p(x) – q(x), x-अक्ष को बिंदु (3, 0) पर प्रतिच्छेद करता है। (iii) योगफल p(x) + q(x), x के सभी वास्तविक मानों के लिए 6x + 4 के समान है। बहुपद p(x) और q(x) ज्ञात कीजिए।

उत्तर

प्रत्येक शर्त को a, b, c, d में एक समीकरण में बदलिए।

(i) p(0) = b = 5

(iii) p(x) + q(x) = (a + c)x + (b + d) = 6x + 4
    अत: a + c = 6 और b + d = 4
    b = 5 होने से d = −1

(ii) p(x) − q(x) = (a − c)x + (b − d), जो x = 3 पर 0 है
    3(a − c) + (5 − (−1)) = 0
    3(a − c) + 6 = 0, अत: a − c = −2

अब a + c = 6 और a − c = −2 हल कीजिए।

जोड़ने पर: 2a = 4, अत: a = 2
तब c = 6 − 2 = 4

p(x) = 2x + 5 और q(x) = 4x − 1

तीनों शर्तों की जाँच: p(0) = 5 ✓; p(x) − q(x) = −2x + 6, जो x = 3 पर 0 है ✓; p(x) + q(x) = 6x + 4 ✓।

शर्त (iii) एक ही कथन से दो समीकरण क्यों देती है: “x के सभी वास्तविक मानों के लिए समान” कहना किसी एक मान पर समान होने से कहीं अधिक प्रबल है। दो रैखिक बहुपद सर्वत्र तभी समान होते हैं जब वे एक ही बहुपद हों, और इससे x के गुणांक अलग से तथा अचर पद अलग से मेल खाने को बाध्य हो जाते हैं। अत: यह अकेली शर्त चार में से दो समीकरण दे देती है — (i) और (ii) के साथ कुल चार समीकरण बनते हैं और चारों अज्ञात राशियाँ अद्वितीय रूप से निश्चित हो जाती हैं।

संकेत: क्रम ऊपर जैसा ही रखिए — पहले (i), फिर (iii), फिर (ii)। b और d पहले निकाल लेने से p − q का अचर पद एक ज्ञात संख्या बन जाता है और (ii) केवल a − c में एक समीकरण रह जाती है।

प्र12.

माचिस की तीलियों से निर्मित षट्भुजों के बढ़ते हुए प्रतिरूप के प्रथम तीन चरणों को देखिए। प्रत्येक स्तर पर एक नया षट्भुज जोड़ा जाता है जो इससे पूर्व के चरण में बनी आकृति के अंतिम षट्भुज की एक भुजा से जुड़ा होता है। (i) इस प्रतिरूप के अग्रिम दो चरण बनाइए। इन चरणों में कितनी माचिस की तीलियों की आवश्यकता होगी? (ii) नीचे दी गई तालिका को पूर्ण कीजिए। (iii) n वें चरण के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या का पता लगाने के लिए सूत्र ज्ञात कीजिए। (iv) प्रतिरूप के 15वें चरण के लिए माचिस की कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी? (v) क्या माचिस की 200 तीलियों से इस प्रतिरूप में कोई चरण निर्मित हो सकता है? अपने उत्तर को प्रमाणित कीजिए।

उत्तर

(i) चरण 4 की शृंखला में चार षट्भुज हैं और चरण 5 में पाँच।

चरण 4 और चरण 5। प्रत्येक नया षट्भुज पहले से बनी एक भुजा पर जुड़ता है, अत: उसमें केवल 5 नई तीलियाँ लगती हैं।

चरण 4: 6 + 5 + 5 + 5 = 21 तीलियाँ
चरण 5: 21 + 5 = 26 तीलियाँ

(ii)

चरण संख्या	1	2	3	4	5	…	n
माचिस की तीलियों की संख्या	6	11	16	21	26	…	5n + 1

(iii)

nवें चरण में तीलियों की संख्या = 5n + 1

(iv)

n = 15: 5(15) + 1 = 75 + 1 = 76 तीलियाँ

(v) सूत्र को 200 के समीकृत कीजिए।

5n + 1 = 200
5n = 199
n = 199/5 = 39.8

n पूर्ण संख्या होनी चाहिए, अत: नहीं — 200 तीलियों से इस प्रतिरूप का कोई चरण नहीं बन सकता। चरण 39 में 196 और चरण 40 में 201 तीलियाँ लगती हैं।

सूत्र 5n + 1 क्यों है, 6n क्यों नहीं: पहले षट्भुज में उसकी छहों भुजाएँ लगती हैं। उसके बाद का प्रत्येक षट्भुज पिछले षट्भुज की उस भुजा पर जुड़ता है जो पहले से मौजूद है, अत: उसमें केवल 5 नई तीलियाँ चाहिए। इसलिए nवें चरण में 6 + 5(n − 1) = 5n + 1 तीलियाँ लगती हैं। क्रमागत चरणों के बीच 5 का अचर अंतर ही इसे रैखिक प्रतिरूप बनाता है और 5 संगत रेखा का ढलान है।
“+1” को देखने का दूसरा तरीका: प्रत्येक षट्भुज 5 तीलियों का मानिए, और आरंभ में पहले षट्भुज को बंद करने के लिए एक अतिरिक्त तीली चाहिए।
(v) बिना सूची बनाए क्यों तय हो जाता है: 5n + 1 को 5 से भाग देने पर सदैव शेषफल 1 आता है, अत: संभावित कुल संख्याएँ 6, 11, 16, 21, … ही हैं — सभी 1 या 6 पर समाप्त होती हैं। 200 शून्य पर समाप्त होती है, अत: वह इस सूची में नहीं है।

स्वयं जाँचिए: अंतर 11 − 6, 16 − 11, 21 − 16, 26 − 21 सभी 5 हैं ✓, और 5(1) + 1 = 6 चरण 1 से मेल खाता है।

प्र13.

मान लीजिए p(x) = ax + b और q(x) = cx + d दो रैखिक बहुपद इस प्रकार हैं कि — (i) बहुपद p(x) का आलेख, बिंदुओं (2, 3) और (6, 11) से होकर जाता है। (ii) बहुपद q(x) का आलेख, बिंदु (4, –1) से होकर जाता है। (iii) बहुपद q(x) का आलेख, बहुपद p(x) के आलेख के समानांतर है। बहुपदों p(x) और q(x) को ज्ञात कीजिए। इसके अतिरिक्त, उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर ये रेखाएँ x-अक्ष से मिलती हैं।

उत्तर

p(x) ज्ञात करना: दोनों बिंदुओं से दो समीकरण मिलते हैं।

2a + b = 3 …(1)
6a + b = 11 …(2)
(2) − (1): 4a = 8, अत: a = 2
(1) से: b = 3 − 4 = −1

p(x) = 2x − 1

q(x) ज्ञात करना: समानांतर होने का अर्थ है ढलान समान, अत: c = 2। अब बिंदु (4, −1) का उपयोग कीजिए।

2(4) + d = −1
8 + d = −1
d = −9

q(x) = 2x − 9

x-अक्ष से मिलने के बिंदु (प्रत्येक बहुपद को 0 के समीकृत कीजिए) —

2x − 1 = 0 → x = 1/2 → (1/2, 0)
2x − 9 = 0 → x = 9/2 → (9/2, 0)

p(x) = 2x − 1 और q(x) = 2x − 9 समानांतर हैं और x-अक्ष को क्रमश: (1/2, 0) व (9/2, 0) पर मिलती हैं।

जाँच: p(2) = 3 ✓, p(6) = 11 ✓, q(4) = 8 − 9 = −1। ✓

“समानांतर” से c क्यों निर्धारित हो जाता है: दो रेखाएँ ठीक तभी समानांतर होती हैं जब उनके ढलान बराबर हों, अत: बिना किसी और परिश्रम के c = a = 2। इसके बाद q का केवल अंतःखंड अज्ञात रहता है, और एक अज्ञात के लिए एक बिंदु पर्याप्त है — इसीलिए प्रश्न में q के लिए केवल एक बिंदु दिया गया है और p के लिए दो।
दोनों x-अंतःखंडों के बीच क्षैतिज अंतर देखिए: 9/2 − 1/2 = 4। यह दोनों रेखाओं के बीच के अचर ऊर्ध्व अंतर 8 से मेल खाता है, क्योंकि ढलान 2 वाली रेखा को 8 चढ़ने के लिए 4 की क्षैतिज चाल चाहिए।

संकेत: ax + b का शून्यक सदैव x = −b/a होता है। यहाँ वह −(−1)/2 = 1/2 और −(−9)/2 = 9/2 है — एक ही पंक्ति में दोनों उत्तरों की जाँच।

प्र14.

f (x) = ax + a, जहाँ a > 0 है, के रूप के सभी रैखिक फलनों में कौन-सा गुण सामान्य है?

उत्तर

गुणनखंड कीजिए, उत्तर स्वयं सामने आ जाएगा।

f(x) = ax + a = a(x + 1)
f(−1) = a(−1 + 1) = a × 0 = 0 प्रत्येक a के लिए

ऐसी प्रत्येक रेखा बिंदु (−1, 0) से होकर जाती है — वे सब x-अक्ष को एक ही स्थान पर काटती हैं।

a > 0 होने के तीन और साझा परिणाम —

ढलान और y-अंतःखंड बराबर हैं, क्योंकि दोनों a ही हैं: रेखा y-अक्ष को (0, a) पर मिलती है।
सभी का ढलान धनात्मक है, अत: सभी बाएँ से दाएँ चढ़ती हैं — प्रत्येक रैखिक वृद्धि का चित्र है।
प्रत्येक x > −1 पर धनात्मक और x < −1 पर ऋणात्मक है, क्योंकि a(x + 1) का चिह्न केवल कोष्ठक से तय होता है।

y = x + 1, y = 2x + 2 और y = 3x + 3 — ढलान भिन्न, किंतु तीनों (−1, 0) से होकर जाती हैं।

उभयनिष्ठ बिंदु होना अनिवार्य क्यों था: जिस रेखा-कुल के दोनों गुणांक आपस में बँधे हों, उसमें केवल एक ही स्वतंत्र प्राचल बचता है, अत: वह किसी एक बिंदु के चारों ओर घूमती हुई रेखाओं का कुल है, न कि रेखाओं का कोई साधारण संग्रह। f(x) = a(x + 1) लिखते ही यह स्पष्ट हो जाता है: a पूरे व्यंजक से गुणा है, अत: जहाँ कोष्ठक शून्य होता है वहाँ पूरा व्यंजक शून्य होगा, a चाहे कुछ भी हो। वही निश्चित शून्यक x = −1 धुरी है। a > 0 होने के कारण यह कुल उस धुरी से होकर प्रत्येक धनात्मक ढलान वाली रेखा खींचता है, किंतु कभी क्षैतिज या गिरती हुई रेखा नहीं।

स्वयं जाँचिए: a = 1, 2 और 10 लीजिए। रेखाएँ y = x + 1, y = 2x + 2 और y = 10x + 10 तीनों में x = −1 पर y = 0 मिलता है, जबकि उनके y-अंतःखंड 1, 2 और 10 सब भिन्न हैं।

क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ