प्र1.
20 सेंटीमीटर लंबे तार को आयत बनाने के लिए विभिन्न प्रकार से मोड़ा गया है। उदाहरण के लिए, हम 7 सेंटीमीटर लंबा और 3 सेंटीमीटर चौड़ा आयत बना सकते हैं। हम 5.5 सेंटीमीटर लंबा और 4.5 सेंटीमीटर चौड़ा आयत भी बना सकते हैं (इस प्रकार के आयत बनाने की कुछ अन्य विधियों पर विचार कीजिए)।
उत्तर
तार ही परिमाप है, अत: ऐसे प्रत्येक आयत के लिए
2(लंबाई + चौड़ाई) = 20
लंबाई + चौड़ाई = 10
लंबाई + चौड़ाई = 10
अत: जिन दो धनात्मक लंबाइयों का योग 10 हो, वे सभी काम करती हैं। कुछ और उदाहरण —
| लंबाई (सेंटीमीटर) | 9 | 8 | 6.5 | 6 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| चौड़ाई (सेंटीमीटर) | 1 | 2 | 3.5 | 4 | 5 |
| क्षेत्रफल (वर्ग सेंटीमीटर) | 9 | 16 | 22.75 | 24 | 25 |
ऐसा क्यों होता है: तार परिमाप को निश्चित करता है, आकार को नहीं। 2l + 2w = 20 से w = 10 − l प्राप्त होता है, अत: लंबाई चुनते ही चौड़ाई भी निश्चित हो जाती है। केवल एक संख्या स्वतंत्र है और वह 0 < l < 10 वाला कोई भी मान ले सकती है — अर्थात ऐसे आयत गिनती के नहीं, अनंत हैं।
यह कीजिए: क्षेत्रफल l(10 − l) है। l = 4, 4.5, 5, 5.5, 6 लेने पर 24, 24.75, 25, 24.75, 24 मिलता है। क्षेत्रफल अधिकतम 25 वर्ग सेंटीमीटर तब है जब आयत 5 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग हो, और उसके दोनों ओर यह समान रूप से घटता है।