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कक्षा ९ गणित अध्याय 3 प्रश्नावली 3.3 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याएँ समतुल्य हैं — (i) 2/3 और 4/6 (ii) 5/4 और 10/8 (iii) −3/5 और −6/10 (iv) 9/3 और 3
उत्तर

अध्याय की कसौटी है — a/b = c/d ठीक तभी जब ad = bc हो। इसे प्रत्येक युग्म पर लगाइए।

भागवज्र गुणनफल ad और bcसमतुल्य?
(i) 2/3, 4/62 × 6 = 12 और 3 × 4 = 12हाँ
(ii) 5/4, 10/85 × 8 = 40 और 4 × 10 = 40हाँ
(iii) −3/5, −6/10(−3) × 10 = −30 और 5 × (−6) = −30हाँ
(iv) 9/3, 3/19 × 1 = 9 और 3 × 3 = 9हाँ

यही चारों तथ्य समतुल्य भिन्नों की दृष्टि से —

4/6 = (2 × 2)/(2 × 3) = 2/3
10/8 = (2 × 5)/(2 × 4) = 5/4
−6/10 = (2 × −3)/(2 × 5) = −3/5
9/3 = (3 × 3)/(3 × 1) = 3
ऐसा क्यों होता है: ad = bc वस्तुत: a/b = c/d का ही वह रूप है जिसमें हर हटा दिए गए हों — दोनों पक्षों को bd से गुणा कीजिए और भिन्न लुप्त हो जाते हैं। यही कारण है कि इस कसौटी में विभाजन की आवश्यकता नहीं पड़ती और यह ऋणात्मक भिन्नों पर भी लागू होती है।
सुझाव: (iv) में पूर्ण संख्या को कसौटी लगाने से पहले 3/1 लिखा गया है। प्रत्येक पूर्णांक हर 1 वाली परिमेय संख्या है।
प्र2.
योगफल ज्ञात कीजिए — (i) 2/5 + 3/10 (ii) 7/12 + 5/8 (iii) −4/7 + 3/14
उत्तर
(i) ल.स. (5, 10) = 10
2/5 + 3/10 = 4/10 + 3/10 = 7/10
7 और 10 सह-अभाज्य हैं → 7/10
(ii) 12 = 2² × 3, 8 = 2³ → ल.स. = 24
7/12 + 5/8 = 14/24 + 15/24 = 29/24  (= 1 5/24)
(iii) ल.स. (7, 14) = 14
−4/7 + 3/14 = −8/14 + 3/14 = −5/14
5 और 14 सह-अभाज्य हैं → −5/14
ऐसा क्यों होता है: नियम a/b + c/b = (a + c)/b तभी काम करता है जब भाग समान आकार के हों, अत: प्रत्येक योग सार्व हर पर लिखने से आरंभ होता है। उसके बाद केवल अंश जुड़ते हैं — हर भाग का आकार बताता है और बदलता नहीं।
स्वयं जाँचिए: (iii) का उत्तर ऋणात्मक ही होगा, क्योंकि 4/7 = 8/14, 3/14 से बड़ा है।
प्र3.
अंतर ज्ञात कीजिए — (i) 5/6 − 1/4 (ii) 11/8 − 3/4 (iii) −7/9 − (−2/3)
उत्तर
(i) ल.स. (6, 4) = 12
5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12
(ii) ल.स. (8, 4) = 8
11/8 − 3/4 = 11/8 − 6/8 = 5/8
(iii) ऋणात्मक को घटाना अर्थात उसका विपरीत जोड़ना
−7/9 − (−2/3) = −7/9 + 2/3
= −7/9 + 6/9 = −1/9
ऐसा क्यों होता है: भाग (iii) में खंड 3.3 का पूर्णांक नियम भिन्न के भीतर लगाया गया है। चूँकि 2/3 = 6/9, 7/9 से छोटा है, इसे जोड़ने पर योग 0 तक नहीं पहुँच पाता, अत: उत्तर ऋणात्मक ही रहता है — गणना से पहले यह एक उपयोगी जाँच है।
प्र4.
गुणनफल ज्ञात कीजिए — (i) 2/3 × 3/10 (ii) 7/11 × 5/8 (iii) −4/7 × 5/14
उत्तर

नियम है a/b × c/d = ac/bd। गुणा करने से पहले सार्व गुणनखंड काट देने पर संख्याएँ छोटी रहती हैं।

(i) 2/3 × 3/10 = (2 × 3)/(3 × 10)
3 कट गया, 2 कट गया → 1/5
= 1/5
(ii) 7/11 × 5/8 = 35/88
88 = 2³ × 11, 35 = 5 × 7 — कोई सार्व गुणनखंड नहीं
= 35/88
(iii) −4/7 × 5/14 = −20/98
अंश और हर को 2 से विभाजित कीजिए
= −10/49
ऐसा क्यों होता है: एक धनात्मक और एक ऋणात्मक परिमेय संख्या का गुणनफल ऋणात्मक होता है — वही ऋण-धन नियम जो पूर्णांकों पर लागू है, क्योंकि चिह्न अंश के साथ चलता है।
प्र5.
भागफल ज्ञात कीजिए — (i) 2/3 ÷ 3/10 (ii) 7/11 ÷ 5/8 (iii) −4/7 ÷ 5/14
उत्तर

c/d से विभाजन का अर्थ है उसके व्युत्क्रम d/c से गुणा करना, जिसके लिए c ≠ 0 आवश्यक है।

(i) 2/3 ÷ 3/10 = 2/3 × 10/3 = 20/9
(ii) 7/11 ÷ 5/8 = 7/11 × 8/5 = 56/55
(iii) −4/7 ÷ 5/14 = −4/7 × 14/5
= −56/35, दोनों को 7 से विभाजित कीजिए
= −8/5
ऐसा क्यों होता है: c/d का व्युत्क्रम वह संख्या है जिससे गुणा करने पर 1 प्राप्त हो, क्योंकि (c/d) × (d/c) = cd/dc = 1। अत: c/d से विभाजन और d/c से गुणन का परिणाम एक ही होगा। ध्यान दीजिए कि (i) और (ii) में भागफल पहली संख्या से बड़ा है — 1 से छोटी भिन्न से विभाजन संख्या को बड़ा कर देता है।
प्र6.
सिद्ध कीजिए कि (1/2 + 3/4) × 8/3 = 1/2 × 8/3 + 3/4 × 8/3
उत्तर
बायाँ पक्ष
1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4
(5/4) × (8/3) = 40/12 = 10/3
दायाँ पक्ष
1/2 × 8/3 = 8/6 = 4/3
3/4 × 8/3 = 24/12 = 2 = 6/3
4/3 + 6/3 = 10/3

दोनों पक्ष 10/3 हैं, अत: कथन सिद्ध हुआ।

ऐसा क्यों होता है: यह p = 1/2, q = 3/4, r = 8/3 के साथ बंटन नियम (p + q)r = pr + qr ही है। यह इन विशेष भिन्नों का संयोग नहीं — यह नियम परिमेय संख्याओं के प्रत्येक त्रिक पर लागू होता है, और 8/3 के स्थान पर कोई भी परिमेय संख्या रखने पर भी समता बनी रहेगी।
प्र7.
बंटन गुणधर्म का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का सरलीकरण कीजिए — 7/9 (6/7 − 3/4)
उत्तर

7/9 को कोष्ठक में बाँट दीजिए —

7/9 × 6/7 − 7/9 × 3/4
= 42/63 − 21/36
= 2/3 − 7/12
= 8/12 − 7/12
= 1/12

पहले कोष्ठक हल करने पर भी वही उत्तर आना चाहिए — यह एक उपयोगी जाँच है —

6/7 − 3/4 = 24/28 − 21/28 = 3/28
7/9 × 3/28 = 21/252 = 1/12
ऐसा क्यों होता है: अध्याय में बंटन नियम योग के लिए p(q + r) = pq + pr लिखा गया है; यह घटाव पर भी लागू होता है क्योंकि q − r का अर्थ q + (−r) है। यहाँ पहला मार्ग हल्का है, क्योंकि 7/9 × 6/7 में 7 तुरंत कट जाता है।
प्र8.
परिमेय संख्या x को इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि 5/6 (x + 3/5) = 5/6 x + 1/2
उत्तर

बंटन नियम से बाएँ पक्ष का विस्तार कीजिए —

5/6 (x + 3/5) = 5/6 · x + 5/6 · 3/5
5/6 × 3/5 = 15/30 = 1/2
अत: बायाँ पक्ष 5x/6 + 1/2 है
5x/6 + 1/2 = 5x/6 + 1/2
दोनों पक्षों से 5x/6 घटाइए → 1/2 = 1/2

समीकरण एक सत्य कथन में बदल जाता है और उसमें x शेष ही नहीं रहता। अत: यह एक सर्वसमिका है — प्रत्येक परिमेय संख्या x इसे संतुष्ट करती है।

ऐसा क्यों होता है: यह समीकरण p = 5/6, q = x, r = 3/5 के लिए लिखा गया बंटन नियम ही है, जिसमें गुणनफल 5/6 × 3/5 को पहले ही 1/2 कर दिया गया है। जो नियम सभी परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है, वह x के किसी एक मान को नहीं चुन सकता। यदि दायाँ पक्ष 5x/6 + 1/3 होता तो हमें 1/2 = 1/3 मिलता, जो असत्य है, और तब कोई भी x हल न होता।
स्वयं जाँचिए: x = 2 लीजिए। बायाँ पक्ष — 5/6 (2 + 3/5) = 5/6 × 13/5 = 13/6। दायाँ पक्ष — 5/6 × 2 + 1/2 = 5/3 + 1/2 = 10/6 + 3/6 = 13/6। दोनों समान, जैसा किसी भी x के लिए होना चाहिए।
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