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कक्षा ९ गणित अध्याय 3 अंतिम प्रश्नावली के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को दीर्घ विभाजन की प्रक्रिया के माध्यम से सांत दशमलव या अनावर्ती और आवर्ती दशमलव (जो भी उपयुक्त हो) में रूपांतरित कीजिए — (i) 3/50 (ii) 2/9
उत्तर
(i) 3/50। 50 = 2 × 5², केवल 2 और 5 → सांत दशमलव अपेक्षित
30 ÷ 50 = 0, शेषफल 30
300 ÷ 50 = 6, शेषफल 0 — समाप्त
3/50 = 0.06, 2 दशमलव स्थानों वाला सांत दशमलव
(ii) 2/9। 9 = 3², 2 या 5 के अतिरिक्त अभाज्य → पुनरावृत्ति अपेक्षित
20 ÷ 9 = 2, शेषफल 2
20 ÷ 9 = 2, शेषफल 2 (शेषफल तुरंत लौट आया)
2/9 = 0.2222… = 0.2
ऐसा क्यों होता है: 3/50 के लिए अपेक्षित दशमलव स्थान max(1, 2) = 2 हैं, और उत्तर वास्तव में दो स्थानों पर समाप्त हो जाता है। 2/9 में शेषफल केवल 1…8 हो सकता है और वह तुरंत 2 पर लौट आता है, अत: एकमात्र अंक 2 अनंत तक दोहराता रहता है।
स्वयं जाँचिए: 3/50 = 6/100 = 0.06 बिना विभाजन के; और शुद्ध आवर्ती नियम से 0.2 = 2/9, क्योंकि 9x = 2।
प्र2.
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर

विरोधाभास द्वारा उपपत्ति, खंड 3.5.1 के प्रतिरूप पर।

चरण 1. मान लीजिए √5 परिमेय है।
तब √5 = p/q, जहाँ p, q पूर्णांक हैं, q ≠ 0 और p, q सह-अभाज्य हैं।

चरण 2. दोनों पक्षों का वर्ग कीजिए — 5 = p²/q²

चरण 3. q² से गुणा कीजिए — 5q² = p²

चरण 4. अत: 5, p² को विभाजित करता है। चूँकि 5 अभाज्य है, 5 को p भी विभाजित होना चाहिए।
मान लीजिए p = 5k, जहाँ k पूर्णांक है।

चरण 5. प्रतिस्थापित कीजिए — 5q² = (5k)² = 25k²

चरण 6. 5 से विभाजित कीजिए — q² = 5k²

चरण 7. अत: 5, q² को विभाजित करता है, इसलिए 5, q को भी विभाजित करेगा।

चरण 8. अब 5 दोनों p और q को विभाजित करता है, अर्थात उनका सार्व गुणनखंड 5 है।
परंतु चरण 1 में हमने उन्हें सह-अभाज्य माना था। विरोधाभास।

कल्पना के बाद का प्रत्येक चरण बाध्य है, अत: कल्पना ही असत्य होनी चाहिए। इस प्रकार √5 को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता — यह अपरिमेय है।

ऐसा क्यों होता है: चरण 4 इस तर्क का हृदय है और उसके लिए 5 का अभाज्य होना आवश्यक है। यदि कोई अभाज्य किसी गुणनफल को विभाजित करता है तो वह किसी एक गुणनखंड को अवश्य विभाजित करेगा; यहाँ गुणनफल p × p है, अत: वह अभाज्य p को विभाजित करता है। यही उपपत्ति √4 पर ढह जाएगी, क्योंकि 4, 6² को विभाजित करता है परंतु 6 को नहीं — और उचित ही, क्योंकि √4 = 2 परिमेय है।
सुझाव: चरण 3 एक और शीघ्र तर्क भी देता है। p² में प्रत्येक अभाज्य सम बार आता है; 5q² में अभाज्य 5 विषम बार आता है। दोनों पक्ष कभी बराबर नहीं हो सकते।
प्र3.
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं को p/q के रूप में रूपांतरित कीजिए — (i) 12.6 (ii) 0.0120 (iii) 3.052 (iv) 1.235 (v) 0.23 (vi) 2.05 (vii) 2.125 (viii) 3.125 (ix) 2.1625
उत्तर

पहली दो सांत हैं; शेष में स्थिति 2 और स्थिति 3 की स्थानांतरण-एवं-घटाव विधि लगेगी।

(i) 12.6 = 126/10 = 63/5
(ii) 0.0120 = 120/10000 = 12/1000 = 3/250
(iii) 3.052 — 1 अनावर्ती अंक, 2 आवर्ती
x = 3.0525252…
10x = 30.52 और 1000x = 3052.52
1000x − 10x = 3052.5252… − 30.5252… = 3022
990x = 3022 → x = 3022/990 = 1511/495
(iv) 1.235 — 1 अनावर्ती अंक, 2 आवर्ती
10x = 12.35, 1000x = 1235.35
990x = 1223 → x = 1223/990
(v) 0.23 — शुद्ध आवर्ती, 2 अंक
100x = 23.23, अत: 99x = 23 → x = 23/99
(vi) 2.05 — 1 अनावर्ती, 1 आवर्ती
10x = 20.5, 100x = 205.5
90x = 185 → x = 185/90 = 37/18
(vii) 2.125 — 2 अनावर्ती, 1 आवर्ती
100x = 212.5, 1000x = 2125.5
900x = 1913 → x = 1913/900
(viii) 3.125 — (vii) जैसा ही रूप
1000x − 100x = 3125.5… − 312.5… = 2813
900x = 2813 → x = 2813/900
(ix) 2.1625 — शुद्ध आवर्ती, 4 अंक
10000x = 21625.1625
9999x = 21623 → x = 21623/9999
दशमलवभिन्नदशमलवभिन्न
12.663/52.0537/18
0.01203/2502.1251913/900
3.0521511/4953.1252813/900
1.2351223/9902.162521623/9999
0.2323/99
ऐसा क्यों होता है: 10^m से गुणा करने पर m अनावर्ती अंक दशमलव बिंदु के बाईं ओर चले जाते हैं; पुन: 10^n से गुणा करने पर दशमलव ठीक एक पूरे आवर्ती चक्र आगे खिसक जाता है। तब दोनों संख्याओं की अनंत पुच्छ बिलकुल एक जैसी हो जाती है, अत: घटाव पुच्छ को पूरी तरह मिटा देता है और पूर्ण संख्या शेष रह जाती है। यही पूरी युक्ति है, और इसीलिए हर सदैव 9 की एक शृंखला के बाद 0 की शृंखला बनता है — 990 = 99 × 10, 900 = 9 × 100, 9999 = 9999 × 1।
स्वयं जाँचिए: 1511 ÷ 495 = 3.0525252…, 1223 ÷ 990 = 1.2353535…, 1913 ÷ 900 = 2.12555… — प्रत्येक वही दशमलव लौटा देता है जिससे हमने आरंभ किया था।
प्र4.
निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए — (i) 0.532 (ii) 1.15
उत्तर

(i) 0.532 को क्रमिक आवर्धन से अंकित किया जाता है — प्रत्येक दशमलव स्थान अंतराल को दस बराबर भागों में बाँटता है।

0.532, 0.5 और 0.6 के मध्य है  (पहला अंक 5)
फिर 0.53 और 0.54 के मध्य  (दूसरा अंक 3)
फिर 0.53 से 0.54 के दस भागों में से दूसरा भाग
01 0.50.6 0.530.54 0.532
तीन बार आवर्धन — 0.5–0.6, फिर 0.53–0.54, फिर बिंदु 0.532।

(ii) 1.15 आवर्ती दशमलव है, अत: पहले उसे भिन्न में बदलिए और तब ठीक-ठीक अंकित कीजिए।

x = 1.1555…
10x = 11.5, 100x = 115.5
90x = 104 → x = 104/90 = 52/45

अत: 1.15 = 52/45 = 1 7/45। इसे ठीक-ठीक अंकित करने के लिए 1 से 2 के अंतराल को 45 बराबर भागों में बाँटिए और 1 से 7 भाग चलिए। आवर्धन से देखें तो यह 1.15 और 1.16 के मध्य, उस अंतराल के आधे से कुछ आगे स्थित है।

ऐसा क्यों होता है: सांत दशमलव को बार-बार दस-गुना आवर्धन से अंकित किया जाता है, जो वस्तुत: एक-एक दशमलव स्थान पढ़ना ही है। आवर्ती दशमलव कभी समाप्त नहीं होता, अत: केवल आवर्धन से उसका सन्निकट स्थान ही मिलेगा — परंतु उसका p/q रूप ठीक स्थान दे देता है, क्योंकि इकाई को q बराबर भागों में बाँटना मापनी और परकार की सटीक क्रिया है।
प्र5.
3 और 4 के मध्य 6 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर

दोनों सीमाओं को ऐसे हर पर लिखिए कि उनके बीच छह पूर्णांक अंश आ सकें। छह संख्याएँ चाहिए, अत: हर 6 + 1 = 7 लीजिए।

3 = 21/7 और 4 = 28/7
21 और 28 के मध्य के पूर्णांक — 22, 23, 24, 25, 26, 27 — ठीक छह

अत: 3 और 4 के मध्य छह परिमेय संख्याएँ —

22/7, 23/7, 24/7, 25/7, 26/7, 27/7
ऐसा क्यों होता है: सार्व हर d के साथ प्रत्येक k/d, जहाँ 3d < k < 4d, 3 और 4 के मध्य स्थित होती है, और ऐसे k ठीक d − 1 होते हैं। d = 7 लेने पर 6 मिलते हैं — ठीक उतने ही जितने चाहिए। d = 10 लेने पर नौ विकल्प (3.1 से 3.9) मिलते और उनमें से कोई छह चुने जा सकते।
सुझाव: उत्तर अद्वितीय नहीं है। 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 भी उतना ही सही है, और बार-बार माध्य लेने की विधि भी।
प्र6.
2/5 और 3/5 के मध्य 5 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर
अंश 2 और 3 क्रमागत हैं — अभी कोई स्थान नहीं
दोनों के अंश और हर को 6 से गुणा कीजिए
2/5 = 12/30 और 3/5 = 18/30
12 और 18 के मध्य के पूर्णांक — 13, 14, 15, 16, 17 — ठीक पाँच

2/5 और 3/5 के मध्य पाँच परिमेय संख्याएँ —

13/30, 14/30 = 7/15, 15/30 = 1/2, 16/30 = 8/15, 17/30
ऐसा क्यों होता है: सीमाएँ हिली नहीं — 12/30 और 18/30 वही संख्याएँ हैं जो 2/5 और 3/5 हैं — परंतु अंशों के बीच की दूरी 1 से बढ़कर 6 हो गई, और यही पाँच स्थान बनाती है। इस विधि से n संख्याएँ रखने के लिए अंशों की दूरी कम से कम n + 1 होनी चाहिए।
स्वयं जाँचिए: 15/30 = 1/2, और वास्तव में 0.4 < 0.5 < 0.6 ✓
प्र7.
1/6 और 2/5 के मध्य 5 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर
ल.स. (6, 5) = 30
1/6 = 5/30 और 2/5 = 12/30
5 और 12 के मध्य के पूर्णांक — 6, 7, 8, 9, 10, 11 — छह विकल्प, आवश्यकता से अधिक

इनमें से पाँच चुनिए —

6/30 = 1/5, 7/30, 8/30 = 4/15, 9/30 = 3/10, 10/30 = 1/3

दशमलव में क्रम की जाँच — 0.16 < 0.2 < 0.23 < 0.26 < 0.3 < 0.3 < 0.4 ✓

ऐसा क्यों होता है: यहाँ केवल ल.स. लेने से ही अंशों की दूरी 7 हो जाती है, जो पाँच संख्याओं के लिए आवश्यक 6 से अधिक है। प्र.6 के विपरीत यहाँ हर को और बड़ा करने की आवश्यकता नहीं पड़ी। जब भी दूरी कम पड़े, सार्व हर को किसी उपयुक्त पूर्ण संख्या से गुणा कर दीजिए।
प्र8.
यदि x/3 + x/5 = 16/15 है तो परिमेय संख्या x ज्ञात कीजिए।
उत्तर
ल.स. (3, 5) = 15
x/3 + x/5 = 5x/15 + 3x/15 = 8x/15
8x/15 = 16/15
दोनों पक्षों को 15 से गुणा कीजिए — 8x = 16
x = 2
ऐसा क्यों होता है: दोनों पदों में अज्ञात x साझा है, अत: बंटन नियम से उन्हें एकत्र किया जा सकता है — x(1/3 + 1/5) = x × 8/15। चूँकि दोनों पक्षों के हर पहले से समान हैं, समीकरण केवल अंशों की तुलना रह जाता है।
स्वयं जाँचिए: 2/3 + 2/5 = 10/15 + 6/15 = 16/15 ✓
प्र9.
मान लीजिए a और b दो ऐसी शून्येतर परिमेय संख्याएँ हैं कि a + 1/b = 0 है। कोई संख्यात्मक मान निर्दिष्ट किए बिना निर्धारित कीजिए कि ab धनात्मक है या ऋणात्मक। अपने उत्तर को सत्यापित कीजिए।
उत्तर

ab ऋणात्मक है — वस्तुत: ab = −1 ही होगा।

a + 1/b = 0 (b ≠ 0, अत: 1/b परिभाषित है)
a = −1/b
दोनों पक्षों को b से गुणा कीजिए
ab = −1

चूँकि −1 < 0 है, ऐसे प्रत्येक युग्म a, b के लिए गुणनफल ab ऋणात्मक है।

ऐसा क्यों होता है: प्रतिबंध कहता है कि a, b के व्युत्क्रम का ऋणात्मक है। किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का चिह्न सदैव समान होता है — यदि b > 0 हो तो 1/b > 0, और यदि b < 0 हो तो 1/b < 0। आगे ऋण चिह्न लगाने पर a और b के चिह्न निश्चित रूप से विपरीत हो जाते हैं, और धन तथा ऋण का गुणनफल ऋण होता है। कहीं भी किसी संख्यात्मक मान की आवश्यकता नहीं पड़ी।
स्वयं जाँचिए: b = 4 लेने पर a = −1/4 और ab = −1। b = −2/3 लेने पर a = 3/2 और ab = −1। सदैव −1।
प्र10.
एक परिमेय संख्या का सांत दशमलव प्रसार है व जिसका अंतिम शून्येतर अंक चौथे दशमलव स्थान पर है। प्रदर्शित कीजिए कि ऐसी संख्या को p/10⁴ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p एक पूर्णांक है जो 10 से अविभाज्य है। क्या यह आवश्यक है कि इस परिमेय संख्या का हर जब अपने सरलतम रूप में लिखा जाता है तो वह 2⁴ या 5⁴ से विभाज्य हो? कारण बताइए।
उत्तर

भाग 1 — p/10⁴ का रूप। चौथे स्थान पर समाप्त होने वाला दशमलव इस रूप का होता है —

N = d₀.d₁d₂d₃d₄
दशमलव हटाने के लिए 10⁴ से गुणा कीजिए
N × 10⁴ = एक पूर्णांक, जिसे p कहिए
अत: N = p/10⁴

यहाँ d₄, अर्थात चौथा दशमलव अंक, अंतिम शून्येतर अंक है, और d₄ ठीक p का इकाई अंक है। चूँकि d₄ ≠ 0, अत: p का अंत 0 से नहीं होता, इसलिए 10, p को विभाजित नहीं करता। ∎

भाग 2 — हाँ, यह आवश्यक है। N = p/10⁴ = p/(2⁴ · 5⁴) लिखकर सरलतम रूप में लाइए।

चूँकि 10 ∤ p है, p एक साथ 2 और 5 दोनों से विभाज्य नहीं हो सकता। अत: इनमें से कम से कम एक स्थिति अवश्य बनेगी —

  • 2 ∤ p। तब 2 का कोई गुणनखंड नहीं कटेगा और सरलतम हर में पूरा 2⁴ बना रहेगा — अत: वह 2⁴ से विभाज्य है।
  • 5 ∤ p। तब 5 का कोई गुणनखंड नहीं कटेगा और सरलतम हर में पूरा 5⁴ बना रहेगा — अत: वह 5⁴ से विभाज्य है।

इस प्रकार सरलतम रूप का हर सदैव 2⁴ अथवा 5⁴ से (कभी-कभी दोनों से) विभाज्य होगा।

संख्याp/10⁴सरलतम रूपहर
0.00055/10⁴1/20002⁴ × 5³ — 2⁴ से विभाज्य
0.00022/10⁴1/50002³ × 5⁴ — 5⁴ से विभाज्य
0.12331233/10⁴1233/100002⁴ × 5⁴ — दोनों से विभाज्य
ऐसा क्यों होता है: हर में से कोई अभाज्य तभी कट सकता है जब अंश उसे उपलब्ध कराए। चूँकि p में 2 और 5 में से कम से कम एक बिलकुल नहीं है, उसकी चौथी घात अछूती बची रह जाती है। यह सांत-दशमलव नियम का ही उल्टा पक्ष है — दशमलव स्थानों की संख्या सरलतम हर में 2 और 5 की घातों में से बड़ी होती है, और यहाँ वह बड़ी घात 4 ही होनी चाहिए।
प्र11.
विभाजन किए बिना यह निर्धारित कीजिए कि 18/125 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत। यदि यह सांत है तो दशमलव स्थानों की संख्या बताइए।
उत्तर
125 = 5³, और 18 = 2 × 3²
18 और 125 का सार्व गुणनखंड 1 है, अत: 18/125 पहले से सरलतम रूप में है
हर में एकमात्र अभाज्य 5 है

हर का रूप 2⁰ × 5³ है, अत: दशमलव सांत होगा। स्थानों की संख्या दोनों घातों में से बड़ी है —

स्थान = max(0, 3) = 3

बिना दीर्घ विभाजन के पुष्टि —

18/125 = (18 × 2³)/(5³ × 2³) = 144/1000 = 0.144 — 3 स्थान ✓
ऐसा क्यों होता है: 5³ को 10 की घात बनाने के लिए छूटा हुआ 2³ जोड़ना ही पड़ेगा। इससे हर 10³ पर स्थिर हो जाता है, अत: दशमलव को तीन से अधिक स्थान नहीं चाहिए — और तीन से कम भी नहीं, क्योंकि 144 का अंत 0 से नहीं होता।
प्र12.
अपने सरलतम रूप में एक परिमेय संख्या का हर 2³ × 5 है। इसके दशमलव प्रसार में कितने दशमलव स्थान होंगे? अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।
उत्तर

प्रसार 3 दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा।

q = 2³ × 5¹, अत: m = 3 और n = 1
k = max(m, n) = 3
अंश और हर को 5^(3−1) = 5² = 25 से गुणा कीजिए
p/(2³ × 5) = 25p/(2³ × 5³) = 25p/1000

1000 से विभाजित पूर्ण संख्या तीन स्थानों पर समाप्त हो जाती है। उदाहरण के लिए 3/40 —

3/40 = (3 × 25)/1000 = 75/1000 = 0.075 — 3 स्थान ✓
ऐसा क्यों होता है: हर को 10 की घात बनाने के लिए दोनों अभाज्य समान घात में आने चाहिए, और वह घात दोनों में से किसी से कम नहीं हो सकती — अत: वह बड़ी घात, max(m, n), ही होगी। इससे अधिक कभी नहीं, क्योंकि 10 की अतिरिक्त घातें केवल शून्य जोड़ती हैं। और इससे कम भी कभी नहीं, क्योंकि सरलतम रूप में अंश का हर के साथ कोई सार्व गुणनखंड नहीं है, अत: कुछ भी कटकर प्रसार को छोटा नहीं कर सकता।
स्वयं जाँचिए: 1/40 = 0.025 और 7/40 = 0.175 — इस हर वाली प्रत्येक भिन्न ठीक तीन स्थान लेती है।
प्र13.
मान लीजिए a = 7/12 और b = 5/6 है। a और b दोनों को k₁/m और k₂/m के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ k₁, k₂ और m पूर्णांक हैं और k₂ − k₁ > 6 है। समान हर m का उपयोग करते हुए a और b के मध्य स्थित ठीक पाँच भिन्न परिमेय संख्याएँ लिखिए, जिनके अंश पूर्णांक हों। स्पष्ट कीजिए कि इस विधि से दो परिमेय संख्याओं a और b के मध्य स्थित ऐसी n परिमेय संख्याओं को ज्ञात करने के लिए k₂ − k₁ > n + 1 प्रतिबंध क्यों आवश्यक है।
उत्तर

चरण 1 — पर्याप्त बड़ा सार्व हर।

a = 7/12, b = 5/6 = 10/12
यहाँ k₂ − k₁ = 10 − 7 = 3, जो 6 से बड़ा नहीं है
अत: हर बढ़ाइए — अंश और हर को 3 से गुणा कीजिए
a = 21/36 और b = 30/36
अब m = 36, k₁ = 21, k₂ = 30 और k₂ − k₁ = 9 > 6 ✓

चरण 2 — उनके मध्य पाँच परिमेय संख्याएँ। 21 और 30 के मध्य के पूर्णांक हैं 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 — आठ विकल्प। इनमें से पाँच चुनिए —

22/36 = 11/18, 23/36, 24/36 = 2/3, 25/36, 26/36 = 13/18

जाँच — 21/36 < 22/36 < 23/36 < 24/36 < 25/36 < 26/36 < 30/36 ✓

चरण 3 — यह प्रतिबंध क्यों आवश्यक है।

इस विधि से बनने वाली संख्याएँ k/m हैं, जहाँ k₁ < k < k₂
ऐसे पूर्णांक k की संख्या = k₂ − k₁ − 1
n संख्याएँ पाने के लिए चाहिए k₂ − k₁ − 1 ≥ n
अर्थात k₂ − k₁ ≥ n + 1

पुस्तक का प्रतिबंध k₂ − k₁ > n + 1 यही आवश्यकता कुछ अतिरिक्त छूट के साथ है — यह सुनिश्चित करता है कि k₂ − k₁ − 1 > n हो, अत: n से अधिक विकल्प उपलब्ध रहें और चुनाव की स्वतंत्रता बनी रहे। n = 5 के लिए यह k₂ − k₁ > 6 माँगता है, और हमारा m = 36 उसे 9 देकर सहज ही पूरा कर देता है।

ऐसा क्यों होता है: हर के m पर स्थिर हो जाने पर a और b के मध्य उपलब्ध परिमेय संख्याएँ 1/m पग वाली एक जाली पर बँध जाती हैं। उस जाली पर और बिंदु पाने का एकमात्र उपाय सीमाओं के बीच की दूरी बढ़ाना है, और m को t से गुणा करने पर a, b हिले बिना दूरी k₂ − k₁ भी t गुनी हो जाती है। अत: दो भिन्न परिमेय संख्याओं के मध्य कितनी भी परिमेय संख्याएँ रखी जा सकती हैं — यही परिमेय संख्याओं की सघनता, इस बार ठीक-ठीक गिनी हुई।
सुझाव: कड़ाई से देखें तो k₂ − k₁ = n + 1 भी ठीक n संख्याएँ दे देता है, यद्यपि तब कोई चुनाव शेष नहीं रहता। पुस्तक की कड़ी असमिका न्यूनतम प्रतिबंध न होकर एक सुरक्षित पर्याप्त प्रतिबंध है।
प्र14.
तीन परिमेय संख्याएँ x, y, z इस प्रकार हैं कि x + y + z = 0 और xy + yz + zx = 0 प्रतिबंध संतुष्ट होते हैं। प्रदर्शित कीजिए कि सभी परिमेय संख्याएँ x, y, z एक साथ आवश्यक रूप से शून्य ही होंगी।
उत्तर

पहले प्रतिबंध का वर्ग कीजिए और उसमें दूसरा प्रतिबंध रखिए।

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
x + y + z = 0 और xy + yz + zx = 0 प्रतिस्थापित कीजिए
0² = x² + y² + z² + 2 × 0
x² + y² + z² = 0

अब x², y², z² परिमेय संख्याओं के वर्ग हैं, अत: प्रत्येक ≥ 0 है। तीन ऋणेतर संख्याओं का योग 0 तभी होगा जब तीनों में प्रत्येक 0 हो —

यदि मान लीजिए x² > 0 हो तो x² + y² + z² ≥ x² > 0, जो विरोधाभास है
अत: x² = 0, y² = 0, z² = 0
इसलिए x = y = z = 0 ∎
ऐसा क्यों होता है: सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) दोनों दी हुई शर्तों को वर्गों के एक योग वाले कथन में बदल देती है, और वास्तविक संख्याओं के वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं हो सकते — वही तथ्य जो √(−1) वाले 'सोचिए और विचार कीजिए' में प्रयुक्त हुआ था। यह कितना आवश्यक है, यह इससे स्पष्ट है कि काल्पनिक संख्याओं में यह निष्कर्ष टूट जाता है — x = 1, y = ω, z = ω² (1 के सम्मिश्र घनमूल) दोनों शर्तें संतुष्ट करते हैं, फिर भी शून्य नहीं हैं।
स्वयं जाँचिए: हाथ से कोई शून्येतर उदाहरण खोजने का प्रयास कीजिए। x = 1, y = −1 लीजिए; तब पहली शर्त से z = 0, परंतु xy + yz + zx = −1 ≠ 0। दूसरी शर्त सदैव रोक देती है।
प्र15.
प्रदर्शित कीजिए कि परिमेय संख्या (a + b)/2, परिमेय संख्याओं a और b के मध्य स्थित है।
उत्तर

a ≠ b लीजिए और व्यापकता की हानि के बिना मान लीजिए a < b (अन्यथा नाम बदल दीजिए)।

a से बड़ा —
(a + b)/2 − a = (a + b − 2a)/2 = (b − a)/2
चूँकि a < b, अत: b − a > 0, इसलिए (b − a)/2 > 0
अत: (a + b)/2 > a
b से छोटा —
b − (a + b)/2 = (2b − a − b)/2 = (b − a)/2
पुन: (b − a)/2 > 0
अत: (a + b)/2 < b

दोनों मिलाकर, a < (a + b)/2 < b। ∎

यह परिमेय संख्या भी है — a + b परिमेय है क्योंकि परिमेय संख्याएँ योग के अंतर्गत संवृत हैं, और 2 ≠ 0 से विभाजन उसे परिमेय ही रखता है।

ऐसा क्यों होता है: ऊपर निकाले गए दोनों अंतराल बिलकुल समान हैं, दोनों (b − a)/2। इसीलिए माध्य केवल कहीं बीच में नहीं, अपितु ठीक मध्य बिंदु पर है — दोनों सिरों से बराबर दूरी पर। ज्यामितीय रूप से यह संख्या रेखा पर a और b को मिलाने वाले खंड का मध्य बिंदु है।
सुझाव: इस कथन के लिए a ≠ b आवश्यक है। यदि a = b हो तो (a + b)/2 = a ही होगा और उनके मध्य कोई संख्या ढूँढ़ने को शेष नहीं रहती।
प्र16.
चित्र 3.14 (जिसे वर्गमूल सर्पिल कहा जाता है) में प्रदर्शित सभी समकोण त्रिभुजों के कर्णों की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर

चित्र 3.14 खंड 3.5.2 के नियम से बना है — प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण को एक भुजा और 1 लंबाई के नए रेखाखंड को दूसरी भुजा बनाता है।

पहला त्रिभुज — भुजाएँ 1 और 1 → h₁² = 1 + 1 = 2 → h₁ = √2
दूसरा त्रिभुज — भुजाएँ √2 और 1 → h₂² = 2 + 1 = 3 → h₂ = √3
तीसरा त्रिभुज — भुजाएँ √3 और 1 → h₃² = 3 + 1 = 4 → h₃ = 2
व्यापक रूप में hₙ = √(n + 1)

चित्र में दस समकोण त्रिभुज मुद्रित हैं, अत: उनके कर्ण —

त्रिभुजभुजाएँकर्ण²कर्ण
11, 12√2 ≈ 1.414
2√2, 13√3 ≈ 1.732
3√3, 14√4 = 2
42, 15√5 ≈ 2.236
5√5, 16√6 ≈ 2.449
6√6, 17√7 ≈ 2.646
7√7, 18√8 = 2√2 ≈ 2.828
8√8, 19√9 = 3
93, 110√10 ≈ 3.162
10√10, 111√11 ≈ 3.317
O √2√32√5√6√7√83√10√11 1
प्रत्येक नीला रेखाखंड 1 लंबाई का है; O से निकलती प्रत्येक धूसर तीली पिछले त्रिभुज का कर्ण है — √2, √3, 2, √5, … , √11।

अत: दसों कर्ण हैं — √2, √3, 2, √5, √6, √7, 2√2, 3, √10 और √11।

ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक चरण लंबाई के वर्ग में ठीक 1 जोड़ता है, अत: वर्ग क्रमश: 2, 3, 4, 5, … पूर्ण संख्याओं से होकर गुजरते हैं। इनमें से कुछ वर्ग पूर्ण हैं — 4 और 9 — जो परिमेय लंबाइयाँ 2 और 3 देते हैं; शेष सभी अपरिमेय लंबाइयाँ देते हैं। इस प्रकार यह सर्पिल इस तथ्य का चित्र है कि संख्या रेखा पर परिमेय और अपरिमेय बिंदु साथ-साथ बैठे हैं, और साथ ही यह दिखाता है कि केवल मापनी और परकार से प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए √n की रचना कैसे की जाए।
क्या आप जानते हैं? प्रत्येक चरण पर घूर्णन arctan(1/√n) होता है, जो n बढ़ने पर घटता जाता है। दस त्रिभुजों के बाद सर्पिल लगभग 259° घूम चुका होता है, और एक पूरा चक्कर पूरा करने में सत्रह त्रिभुज लगते हैं।
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