प्र1.
इस पहेली पर विचार कीजिए कि −1 का वर्गमूल क्या है? हम जानते हैं कि 1 × 1 = 1 होता है। हम यह भी जानते हैं कि (−1) × (−1) = 1 होता है। ऐसी कोई भी वास्तविक संख्या नहीं है कि जब उसे स्वयं से गुणा करें तो परिणाम ऋणात्मक संख्या प्राप्त हो। अत: √−1 का संख्या रेखा पर अस्तित्व नहीं है।
उत्तर
कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग −1 हो। इसका कारण ब्रह्मगुप्त का अपना चिह्न-नियम है।
यदि x > 0 हो तो x × x > 0 (धन × धन = धन)
यदि x < 0 हो तो x × x > 0 (ऋण × ऋण = धन)
यदि x = 0 हो तो x × x = 0
यदि x < 0 हो तो x × x > 0 (ऋण × ऋण = धन)
यदि x = 0 हो तो x × x = 0
प्रत्येक वास्तविक संख्या इन्हीं तीन स्थितियों में से एक में आती है, अत: प्रत्येक वास्तविक x के लिए x² ≥ 0। चूँकि −1 < 0 है, समीकरण x² = −1 का संख्या रेखा पर कहीं भी कोई हल नहीं है।
ऐसा क्यों होता है: संख्या रेखा रिक्तताएँ भरकर बनी थी — भिन्नों ने पूर्णांकों के बीच की रिक्तता भरी, अपरिमेय संख्याओं ने वह रिक्तता भरी जो भिन्नें छोड़ गई थीं। परंतु √(−1) किसी रिक्तता में नहीं बैठा है; उसे चिह्नों का अंकगणित ही बाहर कर देता है। अत: कितनी भी भराई से वह नहीं मिलेगा, और गणितज्ञों को रेखा छोड़कर एक नया आयाम जोड़ना पड़ा, जिसमें i² = −1 वाली राशि को i लिखा जाता है।
क्या आप जानते हैं? इस अध्याय का प्रतिरूप यहाँ एक बार और दोहराया जाता है। जब भी कोई संक्रिया संभव नहीं हुई — N में घटाव, Z में विभाजन, Q में वर्गमूल — तब-तब संख्या पद्धति का विस्तार हुआ। काल्पनिक संख्याएँ अगला विस्तार हैं, और वही प्रत्यावर्ती धारा परिपथों तथा क्वांटम यांत्रिकी की गणना संभव बनाती हैं।