प्र1.
क्या आप यह बता सकते हैं कि किन परिमेय संख्याओं के लिए विभाजन परिमित दशमलव स्थानों तक समाप्त या सांत हो जाएगा?
उत्तर
ठीक उन्हीं p/q के लिए जिनका हर, सरलतम रूप में, केवल 2 और 5 के अभाज्य गुणनखंडों से बना हो।
q = 2^m × 5^n → दशमलव सांत होगा
q में कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड → दशमलव आवर्ती होगा
q में कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड → दशमलव आवर्ती होगा
| परिमेय संख्या | हर का गुणनखंडन | दशमलव |
|---|---|---|
| 3/8 | 2³ | 0.375, सांत |
| 3/20 | 2² × 5 | 0.15, सांत |
| 13/250 | 2 × 5³ | 0.052, सांत |
| 4/15 | 3 × 5 | 0.2666…, आवर्ती |
| 5/11 | 11 | 0.4545…, आवर्ती |
ऐसा क्यों होता है: k स्थानों पर समाप्त होने वाला दशमलव वस्तुत: वह भिन्न है जिसका हर 10^k = 2^k × 5^k है। अत: p/q तभी सांत होगा जब उसे 10 की किसी घात वाले हर के साथ लिखा जा सके — और q के भीतर पहले से बैठे 3, 7, 11 जैसे अभाज्य गुणनखंड को कोई गुणन हटा नहीं सकता। इसके विपरीत, यदि q = 2^m 5^n हो तो अंश और हर को 2 अथवा 5 की छूटी हुई घात से गुणा करने पर हर 10^max(m, n) बन जाता है।
सुझाव: पहले सरलतम रूप में लाइए। 6/15 में 3 दिखता है, परंतु 6/15 = 2/5 = 0.4, जो सांत है।