प्र1.
10/3 और 11/12 के दशमलव प्रसार ज्ञात करने का प्रयत्न कीजिए। दशमलव बिंदु के पश्चात आने वाले अंकों की पुनरावृत्ति के विषय में आप क्या अवलोकन करते हैं?
उत्तर
10/3 दीर्घ विभाजन से
10 ÷ 3 = 3, शेषफल 1
10 ÷ 3 = 3, शेषफल 1 (पुन: वही)
10/3 = 3.3333… = 3.3
10 ÷ 3 = 3, शेषफल 1
10 ÷ 3 = 3, शेषफल 1 (पुन: वही)
10/3 = 3.3333… = 3.3
11/12 दीर्घ विभाजन से
110 ÷ 12 = 9, शेषफल 2
20 ÷ 12 = 1, शेषफल 8
80 ÷ 12 = 6, शेषफल 8
80 ÷ 12 = 6, शेषफल 8 (पुनरावृत्ति)
11/12 = 0.91666… = 0.916
110 ÷ 12 = 9, शेषफल 2
20 ÷ 12 = 1, शेषफल 8
80 ÷ 12 = 6, शेषफल 8
80 ÷ 12 = 6, शेषफल 8 (पुनरावृत्ति)
11/12 = 0.91666… = 0.916
अवलोकन। दोनों असांत और आवर्ती हैं, परंतु पुनरावृत्ति भिन्न-भिन्न स्थान से आरंभ होती है —
- 10/3 में आवर्ती खंड दशमलव बिंदु के तुरंत बाद आरंभ होता है — यह शुद्ध आवर्ती दशमलव है। इसके हर 3 में 2 या 5 का कोई गुणनखंड नहीं है।
- 11/12 में पहले दो अंक 9 और 1 आते हैं और तब 6 की पुनरावृत्ति होती है — यह सामान्य आवर्ती दशमलव है। इसके हर 12 = 2² × 3 में 3 के साथ 2 की घात भी मिली हुई है।
ऐसा क्यों होता है: 12 का 2² भाग 10 की घात में समा सकता है (उसी से अनावर्ती अंक बनते हैं), परंतु शेष 3 कभी नहीं हटता, अत: कोई शेषफल दोहराता ही है और पुच्छ अनंत तक चक्र में घूमता रहता है। जब हर में 2 या 5 बिलकुल न हों, जैसे 3 में, तो बनाने के लिए कोई अनावर्ती अंक ही नहीं होता और चक्र तुरंत आरंभ हो जाता है।
स्वयं जाँचिए: अनावर्ती अंकों की संख्या हर में 2 और 5 की घातों में से बड़ी होती है। 12 = 2² × 5⁰ के लिए यह 2 है — ठीक वही दो अंक 9 और 1।