प्र1.
यह स्पष्ट करने का प्रयास कीजिए कि दो परिमेय संख्याओं a और b का माध्य, जो (a + b)/2 है, सदैव a और b के मध्य स्थित एक परिमेय संख्या ही क्यों होती है?
उत्तर
दो बातें सिद्ध करनी हैं — माध्य परिमेय है, और वह a तथा b के मध्य स्थित है।
1. यह परिमेय है। परिमेय संख्याएँ योग के अंतर्गत संवृत हैं और 0 से विभाजन को छोड़कर विभाजन के अंतर्गत भी।
a = p/q और b = r/s, जहाँ q, s ≠ 0
a + b = (ps + qr)/(qs)
(a + b)/2 = (ps + qr)/(2qs)
a + b = (ps + qr)/(qs)
(a + b)/2 = (ps + qr)/(2qs)
अंश ps + qr और हर 2qs दोनों पूर्णांक हैं तथा 2qs ≠ 0 है। अत: (a + b)/2 परिमेय संख्या के रूप में है।
2. यह मध्य में स्थित है। मान लीजिए a < b। तब
(a + b)/2 − a = (a + b − 2a)/2 = (b − a)/2 > 0
b − (a + b)/2 = (2b − a − b)/2 = (b − a)/2 > 0
b − (a + b)/2 = (2b − a − b)/2 = (b − a)/2 > 0
दोनों अंतराल धनात्मक हैं और वस्तुत: बराबर भी — अत: a < (a + b)/2 < b, और माध्य ठीक बीच में स्थित है।
ऐसा क्यों होता है: यही एक तथ्य परिमेय संख्याओं को सघन बनाता है। a और b का माध्य पुन: a के साथ माध्य किया जा सकता है, और यह क्रम कभी समाप्त नहीं होता — अत: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के मध्य, चाहे वे कितनी ही निकट हों, अनंत परिमेय संख्याएँ विद्यमान हैं। अध्याय 1 और 3/2 के मध्य 5/4 पाता है; 1 और 5/4 के मध्य आपको 9/8 मिलेगा, फिर 17/16, और यह क्रम अनंत तक चलेगा।
सुझाव: इस तर्क के लिए a ≠ b आवश्यक है। यदि a = b हो तो 'माध्य' स्वयं a ही होगा और उनके मध्य कुछ भी नहीं होगा।