प्र1.
क्या आप परिमेय संख्या की परिभाषा में निहित q ≠ 0 की आवश्यकता की व्याख्या कर सकते हैं?
उत्तर
क्योंकि शून्य से विभाजन का कोई उत्तर नहीं होता — और p/q चिह्न का अर्थ है 'वह संख्या जिसे q से गुणा करने पर p प्राप्त हो'।
मान लीजिए p/q = x, अत: x × q = p
यदि q = 0 हो तो x × 0 = p
परंतु प्रत्येक x के लिए x × 0 = 0 होता है
यदि q = 0 हो तो x × 0 = p
परंतु प्रत्येक x के लिए x × 0 = 0 होता है
अब दो अलग-अलग कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं —
- यदि p ≠ 0 हो, जैसे 5/0, तो हमें x × 0 = 5 चाहिए। कोई संख्या ऐसा नहीं करती, अत: कोई मान अस्तित्व में ही नहीं है।
- यदि p = 0 हो, अर्थात 0/0, तो x × 0 = 0 प्रत्येक x के लिए सत्य है। अत: प्रत्येक संख्या उत्तर बन जाएगी और यह चिह्न किसी एक संख्या को नामित नहीं करता।
ऐसा क्यों होता है: या तो कोई अभ्यर्थी नहीं है या अनंत अभ्यर्थी हैं, और दोनों ही स्थितियों में p/q संख्या रेखा पर किसी एक बिंदु को नामित करने में असफल रहता है। q = 0 की अनुमति देने पर अंकगणित भी टूट जाएगा — 1 × 0 = 2 × 0 से '0 को काटकर' हम 1 = 2 सिद्ध कर देंगे।
सुझाव: यही प्रतिबंध विभाजन नियम a/b ÷ c/d = ad/bc में पुन: आता है, जिसे अध्याय केवल b ≠ 0, d ≠ 0 और c ≠ 0 के लिए बताता है — अतिरिक्त c ≠ 0 इसलिए है क्योंकि c अब हर बनने जा रहा है।