प्र1.
क्या √2 को एक परिमेय संख्या p/q के रूप में लिखा जा सकता है?
उत्तर
नहीं। ऐसा कोई पूर्णांक युग्म p, q (q ≠ 0) नहीं है जिसके लिए √2 = p/q हो।
खंड 3.5.1 की औपचारिक उपपत्ति से पहले, एक झलक कि उत्तर 'नहीं' ही क्यों होना चाहिए —
यदि √2 = p/q हो तो 2q² = p²
दोनों पक्षों में गुणनखंड 2 गिनिए
p² में 2 की संख्या सम होती है (p का प्रत्येक 2 दो बार आता है)
q² में भी 2 की संख्या सम होती है
अत: 2q² में 2 की संख्या विषम होगी
सम गिनती कभी विषम गिनती के बराबर नहीं हो सकती
दोनों पक्षों में गुणनखंड 2 गिनिए
p² में 2 की संख्या सम होती है (p का प्रत्येक 2 दो बार आता है)
q² में भी 2 की संख्या सम होती है
अत: 2q² में 2 की संख्या विषम होगी
सम गिनती कभी विषम गिनती के बराबर नहीं हो सकती
ऐसा क्यों होता है: वर्ग करने पर अभाज्य गुणनखंडन का प्रत्येक घातांक दोगुना हो जाता है, अत: पूर्ण वर्ग में प्रत्येक अभाज्य सम बार ही आता है। एक अतिरिक्त 2 से गुणा करने पर यह सम-विषम संतुलन टूट जाता है। चूँकि 2 पूर्ण वर्ग नहीं है, उसका वर्गमूल पूर्णांकों का अनुपात नहीं हो सकता। अत: √2 अपरिमेय है — इतिहास की पहली संख्या जिसे अपरिमेय सिद्ध किया गया।
क्या आप जानते हैं? अध्याय √2 तक ज्यामिति से पहुँचता है — इकाई वर्ग का विकर्ण d, 1² + 1² = d² को संतुष्ट करता है, अत: d² = 2। एक अत्यंत साधारण लंबाई ऐसी संख्या निकलती है जिसे कोई भिन्न नाम नहीं दे सकती।