प्र1.
विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का उपयोग करते हुए √3 की अपरिमेयता सिद्ध करने का प्रयत्न कीजिए। क्या यह विधि √5, √7 या √10 के लिए भी सहायक सिद्ध होगी।
उत्तर
कथन — √3 अपरिमेय है। खंड 3.5.1 के आठों चरणों का अनुसरण कीजिए, केवल 'सम' के स्थान पर '3 से विभाज्य' रखिए।
चरण 1. मान लीजिए √3 = p/q सरलतम रूप में, q ≠ 0, p और q सह-अभाज्य
चरण 2. वर्ग कीजिए — 3 = p²/q²
चरण 3. 3q² = p²
चरण 4. अत: 3, p² को विभाजित करता है। चूँकि 3 अभाज्य है, 3, p को भी विभाजित करेगा
मान लीजिए p = 3k
चरण 5. 3q² = (3k)² = 9k²
चरण 6. 3 से विभाजित कीजिए — q² = 3k²
चरण 7. अत: 3, q² को विभाजित करता है, इसलिए 3, q को भी विभाजित करेगा
चरण 8. p और q दोनों में सार्व गुणनखंड 3 है — जो 'सह-अभाज्य' की मान्यता का खंडन है
चरण 2. वर्ग कीजिए — 3 = p²/q²
चरण 3. 3q² = p²
चरण 4. अत: 3, p² को विभाजित करता है। चूँकि 3 अभाज्य है, 3, p को भी विभाजित करेगा
मान लीजिए p = 3k
चरण 5. 3q² = (3k)² = 9k²
चरण 6. 3 से विभाजित कीजिए — q² = 3k²
चरण 7. अत: 3, q² को विभाजित करता है, इसलिए 3, q को भी विभाजित करेगा
चरण 8. p और q दोनों में सार्व गुणनखंड 3 है — जो 'सह-अभाज्य' की मान्यता का खंडन है
त्रुटि केवल प्रारंभिक कल्पना में हो सकती है, अत: √3 अपरिमेय है।
क्या यह विधि √5, √7, √10 पर भी चलेगी? हाँ, तीनों पर।
| संख्या | मुख्य चरण | निष्कर्ष |
|---|---|---|
| √5 | 5 अभाज्य — 5 | p² ⇒ 5 | p | अपरिमेय |
| √7 | 7 अभाज्य — 7 | p² ⇒ 7 | p | अपरिमेय |
| √10 | 10 अभाज्य नहीं, पर 2 | p² ⇒ 2 | p चलता है | अपरिमेय |
√10 के लिए केवल अभाज्य 2 के साथ तर्क चलाइए — 10q² = p² से p सम, p = 2k, अत: 10q² = 4k², अर्थात 5q² = 2k², अत: q² सम और q सम — विरोधाभास।
ऐसा क्यों होता है: पूरी उपपत्ति का इंजन यह चरण है — 'n, p² को विभाजित करता है तो n, p को भी विभाजित करता है', और यह चरण ठीक तभी वैध है जब n अभाज्य (अथवा व्यापक रूप से वर्ग-मुक्त) हो। n = 4 पर यह विफल है — 4, 6² = 36 को विभाजित करता है परंतु 6 को नहीं — और इसीलिए √4 = 2 अपरिमेय नहीं है। अत: यह विधि प्रत्येक ऐसे धनात्मक पूर्णांक n के लिए √n को अपरिमेय सिद्ध करती है जो पूर्ण वर्ग न हो, और n के पूर्ण वर्ग होने पर ईमानदारी से रुक जाती है।