कक्षा ९ गणित अध्याय 3 सोचिए और विचार कीजिए के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
हमने पूर्व में देखा है कि एक ऐसी रेखा कैसे प्राप्त की जाए, जिसकी लंबाई एक परिमेय संख्या हो। ऐसी रेखाएँ कैसे प्राप्त कर सकते हैं जिनकी लंबाई अपरिमेय हो?
उत्तर
विभाजन के स्थान पर बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके। एक इकाई को q बराबर भागों में बाँटने से केवल परिमेय लंबाइयाँ p/q ही बनती हैं; समकोण त्रिभुज वर्गमूल वाली लंबाइयाँ बनाता है।
1 और 1 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज
कर्ण² = 1² + 1² = 2
कर्ण = √2 — एक अपरिमेय लंबाई
चित्र 3.11 की रचना उस लंबाई को संख्या रेखा पर ले आती है —
चरण 1. संख्या रेखा पर OA = 1 इकाई लीजिए और A पर लंब खींचिए।
चरण 2. उस लंब पर AB = 1 इकाई लेकर बिंदु B अंकित कीजिए और OB मिलाइए। तब OB = √2 है।
चरण 3. O को केंद्र और OB को त्रिज्या लेकर चाप खींचिए, जो संख्या रेखा को P पर काटता है। तब OP = √2, अत: P ही √2 है।
OA = AB = 1, अत: OB = √2; परकार से OB को नीचे घुमाकर P पर √2 अंकित होता है।
ऐसा क्यों होता है: परकार किसी लंबाई को बिना बदले स्थानांतरित करता है। प्रमेय दो परिमेय लंबाइयों से एक अपरिमेय लंबाई गढ़ देता है और परकार उसे अक्ष तक पहुँचा देता है। इसी प्रकार संख्या रेखा उन बिंदुओं पर भी भरती है जहाँ कोई भिन्न नहीं पहुँच सकती।
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