कक्षा ९ गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.2 के लिए एनसीईआरटी समाधान (2026-27)

प्र1.

पूर्णत: गुणनखंडन कीजिए — (i) 9x² + 24xy + 16y² (ii) 4s² + 20st + 25t² (iii) 49x² + 28xy + 4y² (iv) 64p² + (32/3)pq + (4/9)q² *(v) 3a² + 4ab + (4/3)b² *(vi) (9/5)s² + 6sv + 5v² (संकेत— उदाहरण 7 में 2 को एक सार्व गुणनखंड के रूप में प्राप्त किया गया था। क्या इसी विधि का उपयोग ऊपर दिए गए प्रश्न (v) और (vi) में किया जा सकता है?)

उत्तर

प्रत्येक भाग में पूछिए: क्या पहला पद एक वर्ग है, क्या अंतिम पद एक वर्ग है, और क्या मध्य पद उन दोनों वर्गमूलों के गुणनफल का दोगुना है? यदि हाँ, तो व्यंजक पूर्ण वर्ग है।

(i) 9x² + 24xy + 16y²

9x² = (3x)², 16y² = (4y)², 2(3x)(4y) = 24xy ✓
= (3x + 4y)²

(ii) 4s² + 20st + 25t²

4s² = (2s)², 25t² = (5t)², 2(2s)(5t) = 20st ✓
= (2s + 5t)²

(iii) 49x² + 28xy + 4y²

49x² = (7x)², 4y² = (2y)², 2(7x)(2y) = 28xy ✓
= (7x + 2y)²

(iv) 64p² + (32/3)pq + (4/9)q²

64p² = (8p)², (4/9)q² = (2q/3)², 2(8p)(2q/3) = 32pq/3 ✓
= (8p + 2q/3)² — अथवा भिन्न हटाकर (4/9)(12p + q)²

*(v) 3a² + 4ab + (4/3)b² — यहाँ 3a² किसी सरल पद का वर्ग नहीं है, अत: संकेत के अनुसार पहले सार्व गुणनखंड बाहर निकालिए। 1/3 बाहर लीजिए:

3a² + 4ab + (4/3)b² = (1/3)(9a² + 12ab + 4b²)
9a² = (3a)², 4b² = (2b)², 2(3a)(2b) = 12ab ✓
= (1/3)(3a + 2b)²

*(vi) (9/5)s² + 6sv + 5v² — 1/5 बाहर लीजिए:

(9/5)s² + 6sv + 5v² = (1/5)(9s² + 30sv + 25v²)
9s² = (3s)², 25v² = (5v)², 2(3s)(5v) = 30sv ✓
= (1/5)(3s + 5v)²

सार्व गुणनखंड पहले क्यों निकालना पड़ता है: उदाहरण 7 में पुस्तक के सामने 50p² था, जिसका वर्गमूल √50 p है — एक करणी, जिसे a² + 2ab + b² सुगमता से नहीं सँभाल पाती। 2 बाहर निकालने पर 50p² बदलकर 25p² हो गया, जो सचमुच एक वर्ग है। भाग (v) और (vi) उसी बात का उलटा रूप हैं: 3a² तथा (9/5)s² परिमेय व्यंजकों के वर्ग नहीं हैं, परंतु भीतर क्रमश: 3 और 5 से गुणा करने पर वे वर्ग बन जाते हैं। बाहर निकाला जाने वाला गुणनखंड ठीक वही है जो हर हटाकर गुणांकों को पूर्ण वर्ग बना दे।

स्वयं जाँचिए: (v) में a = b = 1 रखिए। मूल व्यंजक 3 + 4 + 4/3 = 25/3 देता है; उत्तर (1/3)(3 + 2)² = 25/3 देता है। ✓

प्र2.

सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए — (i) (79)² (ii) (193)² (iii) (299)²

उत्तर

प्रत्येक संख्या किसी पूर्ण सैकड़े/दहाई से थोड़ी कम है, अत: जोड़ने के स्थान पर घटाइए।

(i) 79² = (80 − 1)²

= 80² − 2 × 80 × 1 + 1²
= 6400 − 160 + 1 = 6241

(ii) 193² = (200 − 7)²

= 200² − 2 × 200 × 7 + 7²
= 40000 − 2800 + 49 = 37249

(iii) 299² = (300 − 1)²

= 300² − 2 × 300 × 1 + 1²
= 90000 − 600 + 1 = 89401

यहाँ घटाव क्यों चुना गया: 79 = 80 − 1 में b = 1 रह जाता है, जबकि 79 = 70 + 9 लेने पर b = 9 हो जाता और b² बहुत बड़ा हो जाता। दोनों सर्वसमिकाओं के लिए नियम एक ही है — निकटतम पूर्ण संख्या तक जाइए, चिह्न स्वयं सँभल जाएगा।