कक्षा ९ गणित अध्याय 4 सोचिए और विचार कीजिए के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
चित्र 4.4 में दर्शाए गए वर्गों और आयतों को चिह्नित कीजिए, जिससे यह सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca को दर्शाए।
उत्तर
बड़े वर्ग की भुजा क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों दिशाओं में a, b तथा c में बँटी है, अत: नौ भागों के क्षेत्रफल (पंक्ति की ऊँचाई) × (स्तंभ की चौड़ाई) हैं:
a + b + c भुजा वाला वर्ग, दोनों दिशाओं में विभाजित। विकर्ण पर तीन वर्ग a², b² तथा c² देते हैं; छह आयत जोड़ों में मिलकर 2ab, 2bc तथा 2ca बनाते हैं।
स्तंभ a
स्तंभ b
स्तंभ c
पंक्ति a
a²
ab
ac
पंक्ति b
ab
b²
bc
पंक्ति c
ac
bc
c²
कुल क्षेत्रफल = a² + b² + c² + (ab + ab) + (bc + bc) + (ac + ac)
= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
और यही क्षेत्रफल (a + b + c)² भी है, क्योंकि वर्ग की भुजा a + b + c है।
आयत जोड़ों में क्यों आते हैं: पंक्ति a–स्तंभ b वाला टुकड़ा और पंक्ति b–स्तंभ a वाला टुकड़ा चित्र में अलग-अलग आयत हैं, परंतु दोनों का क्षेत्रफल ab ही है — एक लंबा ab है, दूसरा चौड़ा। जाली अपने मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है, अत: विकर्ण से बाहर का प्रत्येक क्षेत्रफल ठीक दो बार आता है। यही ज्यामितीय कारण है कि प्रत्येक मिश्रित पद के साथ 2 लगा है, और इसीलिए सर्वसमिका में ab, bc, ca नहीं बल्कि 2ab, 2bc, 2ca आते हैं।
संकेत: यही चित्र n पट्टियों में बनाने पर (a₁ + a₂ + … + aₙ)² = सभी aᵢ² का योग + i < j वाले सभी गुणनफलों aᵢaⱼ के योग का दोगुना देता है। तीन चर इसका पहला रोचक उदाहरण मात्र हैं।
क्या यह उपयोगी रहा?प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद!त्रुटि बताएँ