कक्षा ९ गणित अध्याय 4 सोचिए और विचार कीजिए के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
यदि हम (a + b)² = a² + 2ab + b² में b के स्थान पर − b रखें तो क्या होगा?
उत्तर
बिना किसी अतिरिक्त परिश्रम के दूसरी मानक सर्वसमिका प्राप्त हो जाती है।
(a + (−b))² = a² + 2a(−b) + (−b)²
↓ a + (−b) = a − b, 2a(−b) = −2ab, (−b)² = +b² (a − b)² = a² − 2ab + b²
केवल मध्य पद का चिह्न बदलता है, क्योंकि केवल उसी पद में b विषम बार आया है।
यह प्रतिस्थापन मान्य क्यों है:सर्वसमिका शब्द का पूरा अर्थ यही है। (a + b)² = a² + 2ab + b², b के प्रत्येक मान के लिए सत्य है — अत: तब भी सत्य है जब b के स्थान पर आई संख्या −b हो। यहाँ कुछ भी मान नहीं लिया जा रहा; हम केवल सर्वसमिका को एक भिन्न मान पर पढ़ रहे हैं।
पुस्तक इसका चित्र भी देती है। a भुजा वाला वर्ग लीजिए और भुजा को (a − b) तथा b में बाँटिए:
a भुजा वाला वर्ग। नीचे की पट्टी ab तथा दाईं ओर का आयत b(a − b) हटाने पर शेष वर्ग (a − b)² बचता है।
पूरे वर्ग का क्षेत्रफल = a²
नीचे की पट्टी का क्षेत्रफल = ab
दाईं ओर के आयत का क्षेत्रफल = b(a − b)
अत: (a − b)² = a² − ab − b(a − b)
= a² − ab − ba + b²
= a² − 2ab + b²
क्या आप जानते हैं? दोनों पट्टियाँ b × b के कोने पर एक-दूसरे को ढकती हैं। इसीलिए ab और ab के स्थान पर ab और b(a − b) घटाना ही +b² को वापस ले आता है। चित्र वही हिसाब कर रहा है जो बीजगणित करता है।
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