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कक्षा ९ गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.4 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
निम्न सर्वसमिकाओं को पूर्ण करने हेतु रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए — (i) s² − 11s + 24 = (________) (________)   (ii) (________) (x + 1) = (3x² − 4x −7)   (iii) 10x² − 11x − 6 = (2x − ___) (___ + 2)   (iv) 6x² + 7x + 2 = (____________) (___________)
उत्तर

(i) s² − 11s + 24 — a + b = −11 तथा ab = +24 चाहिए, अत: दोनों ऋणात्मक होंगे। 24 के गुणनखंड-युग्म हैं 1×24, 2×12, 3×8, 4×6; इनमें केवल 3 + 8 = 11 है।

a = −3, b = −8
s² − 11s + 24 = s² − 3s − 8s + 24 = s(s − 3) − 8(s − 3)
= (s − 3)(s − 8)

(ii) (________)(x + 1) = 3x² − 4x − 7 — एक गुणनखंड दिया है, अत: −4x को इस प्रकार बाँटिए कि (x + 1) प्रकट हो जाए:

3x² − 4x − 7 = 3x² + 3x − 7x − 7
= 3x(x + 1) − 7(x + 1)
= (3x − 7)(x + 1)

(iii) 10x² − 11x − 6 = (2x − ___)(___ + 2) — (px + a)(qx + b) के रूप में pq = 10, ab = −6 तथा pb + aq = −11 चाहिए। p = 2 और b = 2 लेने पर q = 5 तथा a × 2 = −6, अर्थात a = −3।

10x² − 11x − 6 = 10x² − 15x + 4x − 6   (क्योंकि −15 × 4 = −60 = 10 × (−6) तथा −15 + 4 = −11)
= 5x(2x − 3) + 2(2x − 3)
= (2x − 3)(5x + 2)
अत: रिक्त स्थान हैं 3 तथा 5x।

(iv) 6x² + 7x + 2 — 7x को ऐसी दो संख्याओं से बाँटिए जिनका गुणनफल 6 × 2 = 12 और योग 7 हो: वे हैं 3 और 4।

6x² + 7x + 2 = 6x² + 3x + 4x + 2
= 3x(2x + 1) + 2(2x + 1)
= (2x + 1)(3x + 2)
अग्र गुणांक 1 न हो तो गुणनफल ac क्यों लेते हैं, केवल c क्यों नहीं: (px + a)(qx + b) में अचर पद ab है और x का गुणांक pb + aq है। दोनों विभाजित भागों को गुणा कीजिए: (pb)(aq) = (pq)(ab) = (अग्र गुणांक) × (अचर पद)। अत: जिन दो संख्याओं की खोज है उनका गुणनफल a·c होना चाहिए, केवल c नहीं। (iv) में यह 6 × 2 = 12 है और (iii) में 10 × (−6) = −60।
स्वयं जाँचिए: प्रत्येक उत्तर का विस्तार कीजिए। (2x − 3)(5x + 2) = 10x² + 4x − 15x − 6 = 10x² − 11x − 6। ✓
प्र2.
ऐसी सर्वसमिका का चयन कीजिए और उसका उपयोग कीजिए, जिससे आप सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कर सकें — (i) (41)²   (ii) (27)²   (iii) (23 × 17)   (iv) (135)²   (v) (97)²   (vi) (18 × 29)   (vii) (34 × 43)   (viii) (205)²
उत्तर
गुणनफलचुनी गई सर्वसमिकाहलमान
(i) 41²(a + b)²(40 + 1)² = 1600 + 80 + 11681
(ii) 27²(a − b)²(30 − 3)² = 900 − 180 + 9729
(iii) 23 × 17(a + b)(a − b)(20 + 3)(20 − 3) = 400 − 9391
(iv) 135²a² = (a + b)(a − b) + b²140 × 130 + 25 = 18200 + 2518225
(v) 97²(a − b)²(100 − 3)² = 10000 − 600 + 99409
(vi) 18 × 29(x + a)(x + b)(20 − 2)(20 + 9) = 400 + 20(7) − 18522
(vii) 34 × 43(x + a)(x + b)(40 − 6)(40 + 3) = 1600 + 40(−3) − 181462
(viii) 205²(a + b)²(200 + 5)² = 40000 + 2000 + 2542025

असमान दूरी वाले दोनों गुणनफल विस्तार से लिखने योग्य हैं, क्योंकि उनमें अनुभाग 4.5 वाली तीसरी सर्वसमिका लगती है।

(vi) 18 × 29 में x = 20, a = −2, b = 9:
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
= 400 + (−2 + 9)(20) + (−2)(9)
= 400 + 140 − 18 = 522

(vii) 34 × 43 में x = 40, a = −6, b = 3:
= 1600 + (−6 + 3)(40) + (−6)(3)
= 1600 − 120 − 18 = 1462
सर्वसमिका कैसे चुनें: यदि दोनों संख्याएँ किसी पूर्ण संख्या से बराबर दूरी पर हों तो वे a ± b हैं और वर्गों के अंतर वाली सर्वसमिका एक ही चरण में उत्तर दे देती है (जैसे (iii) में 23 और 17, 20 के दोनों ओर)। यदि दूरियाँ असमान हों तो (x + a)(x + b) लीजिए, जिसमें x वही पूर्ण संख्या हो। और 5 पर समाप्त होने वाले वर्ग के लिए श्रीधराचार्य का रूप सबसे तेज़ है — 135² अर्थात 13 × 14 = 182 के आगे 25।
प्र3.
निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए — (i) 9a² + b² + 4c² − 6ab + 12ac − 4bc   (ii) 16s² + 25t² − 40st   (iii) r² − r − 42   (iv) 49g² + 14gh + h²   (v) 64u² + 121v² + 4w² − 176uv − 32uw + 44vw
उत्तर

(i) 9a² + b² + 4c² − 6ab + 12ac − 4bc — तीन वर्ग और तीन मिश्रित पद, अत: (A + B + C)² की ओर बढ़िए। ऋणात्मक पद वही हैं जिनमें b है, अत: b को ऋण चिह्न दीजिए।

A = 3a, B = −b, C = 2c
2AB = 2(3a)(−b) = −6ab ✓   2BC = 2(−b)(2c) = −4bc ✓   2CA = 2(2c)(3a) = 12ac ✓
= (3a − b + 2c)²

(ii) 16s² + 25t² − 40st

= (4s)² − 2(4s)(5t) + (5t)²
= (4s − 5t)²

(iii) r² − r − 42 — a + b = −1 तथा ab = −42 चाहिए, अत: दोनों संख्याओं के चिह्न विपरीत हैं और उनमें 1 का अंतर है: वे हैं −7 और 6।

r² − r − 42 = r² − 7r + 6r − 42
= r(r − 7) + 6(r − 7)
= (r − 7)(r + 6)

(iv) 49g² + 14gh + h²

= (7g)² + 2(7g)(h) + h²
= (7g + h)²

(v) 64u² + 121v² + 4w² − 176uv − 32uw + 44vw — ऋणात्मक मिश्रित पद वही हैं जिनमें u है, अत: u ही अलग चिह्न वाला होगा। A = 8u, B = −11v, C = −2w लेकर जाँचिए:

2AB = 2(8u)(−11v) = −176uv ✓
2BC = 2(−11v)(−2w) = +44vw ✓
2CA = 2(−2w)(8u) = −32uw ✓
= (8u − 11v − 2w)²
चिह्नों की खोज कैसे काम करती है: (A + B + C)² में कोई मिश्रित पद ठीक तभी ऋणात्मक होता है जब उसके दोनों अक्षरों के चिह्न विपरीत हों। यहाँ uv और uw ऋणात्मक हैं जबकि vw धनात्मक, अत: v और w आपस में सहमत हैं और दोनों u से असहमत — इसलिए u धनात्मक, v और w ऋणात्मक (अथवा पूरा व्यंजक ऋणात्मक, जिससे वही वर्ग बनता है)। पहले चिह्न-प्रतिरूप पढ़ लेने से बार-बार आज़माने की आवश्यकता नहीं पड़ती।
संकेत: वर्ग का उत्तर कभी एकमात्र रूप में नहीं दिखता: (8u − 11v − 2w)² और (−8u + 11v + 2w)² एक ही व्यंजक हैं। दोनों में से कोई भी सही गुणनखंडन है।
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