कक्षा ९ गणित अध्याय 4 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
अब उस स्थिति पर विचार कीजिए, जहाँ हमारे पास चित्र 4.8 में दर्शाए अनुसार 2x + 3 तथा 3x + 1 भुजाओं वाला एक आयत है। आप इसके क्षेत्रफल (2x + 3) (3x + 1) के विषय में क्या कहेंगे?
उत्तर
चित्र 4.8 की टाइलें गिनिए। चौड़ाई में दो x-स्तंभ और तीन इकाई-स्तंभ; ऊँचाई में तीन x-पंक्तियाँ और एक इकाई-पंक्ति।
6 x²-टाइलों, 11 x-टाइलों तथा 3 इकाई टाइलों से बना (2x + 3) × (3x + 1) का आयत।
मध्य गुणांक 11 क्यों है, 3 + 1 क्यों नहीं: आयत की भुजाओं पर अब केवल एक-एक x-टाइल नहीं है — एक ओर 2 हैं और दूसरी ओर 3। इसलिए x-टाइल दो अलग-अलग ढंग से बनती है: चौड़ी भुजा से 3 × 3 = 9 और लंबी भुजा से 2 × 1 = 2। इसी कारण व्यापक नियम में (a + b) नहीं, बल्कि (pb + aq) आता है।
प्र2.
समीकरण को सत्य सिद्ध करने हेतु उचित व्यंजकों द्वारा रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए — (px + a) (qx + b) = (_____) x² + (_____) x + _____ । साथ ही, वितरण गुणधर्म का उपयोग करते हुए अपने उत्तर की जाँच कीजिए।
उत्तर
(px + a)(qx + b) = (pq)x² + (pb + aq)x + ab
वितरण गुणधर्म से जाँच:
(px + a)(qx + b) = px(qx + b) + a(qx + b)
= pq·x² + pb·x + aq·x + ab
= pq·x² + (pb + aq)x + ab
चित्र 4.8 से मिलान, जहाँ p = 2, a = 3, q = 3, b = 1:
pq = 2 × 3 = 6 ✓
pb + aq = 2 × 1 + 3 × 3 = 2 + 9 = 11 ✓
ab = 3 × 1 = 3 ✓
अर्थात 6x² + 11x + 3, जो टाइलों की गिनती के ठीक बराबर है।
तीनों रिक्त स्थान वही क्यों हैं: दो कोष्ठकों के गुणनफल में चार पद बनते हैं। उनमें केवल एक पद, px × qx, ऐसा है जिसमें दो x हैं — वही x² का गुणांक pq देता है। दो पदों में एक-एक x है — वे मिलकर pb + aq बनाते हैं। एक पद में x है ही नहीं — वह ab है। p = q = 1 रखने पर पहले वाला नियम (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab लौट आता है, अत: यह उसी का व्यापक रूप है।
संकेत: आगे जब आप 6x² + 7x + 2 का गुणनखंड करेंगे, तब वास्तव में pq = 6, ab = 2 तथा pb + aq = 7 हल कर रहे होंगे। यह सर्वसमिका ठीक-ठीक बता देती है कि कौन-सी तीन शर्तें पूरी करनी हैं।
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