प्र1.
यह मानते हुए कि हर में दिए गए व्यंजक शून्य के समान नहीं हैं, निम्नलिखित परिमेय व्यंजकों को सरल कीजिए — (i) (3p² − 3pq − 18q²)/(p² + 3pq − 10q²) (ii) (n³ − 3n²m + 3nm² − m³)/(5m² − 10mn + 5n²) (iii) (w³ − v³ + x³ + 3wvx)/(w² + v² + x² − 2wv − 2vx + 2wx) (iv) (4y² − 20yz + 25z²)/(25z² − 4y²) (v) [(x² + x − 6)(x² − 7x + 12)]/[(x² − 6x + 8)(x² − 9)] (vi) (p⁴ − 16)/(p² − 4p + 4)
उत्तर
विधि सदैव एक ही है: अंश का गुणनखंड, हर का गुणनखंड, फिर जो सार्व और शून्येतर हो उसे काट दीजिए।
(i) (3p² − 3pq − 18q²)/(p² + 3pq − 10q²)
अंश: 3p² − 3pq − 18q² = 3(p² − pq − 6q²) = 3(p − 3q)(p + 2q)
हर: p² + 3pq − 10q² = (p + 5q)(p − 2q)
= 3(p − 3q)(p + 2q) / [(p + 5q)(p − 2q)]
हर: p² + 3pq − 10q² = (p + 5q)(p − 2q)
= 3(p − 3q)(p + 2q) / [(p + 5q)(p − 2q)]
चारों गुणनखंड भिन्न हैं, अत: कुछ भी नहीं कटता — यह व्यंजक पहले से ही निम्नतम रूप में है और ऊपर लिखा पूर्ण गुणनखंडित रूप ही सबसे सरल उत्तर है। (शीघ्र जाँच: p = 1, q = 0 रखिए। मूल व्यंजक 3/1 = 3 देता है और गुणनखंडित रूप भी।)
(ii) (n³ − 3n²m + 3nm² − m³)/(5m² − 10mn + 5n²) — अंश अंतर का घन है।
अंश = n³ − 3n²m + 3nm² − m³ = (n − m)³
हर = 5(m² − 2mn + n²) = 5(m − n)² = 5(n − m)²
= (n − m)³ / [5(n − m)²] = (n − m)/5
हर = 5(m² − 2mn + n²) = 5(m − n)² = 5(n − m)²
= (n − m)³ / [5(n − m)²] = (n − m)/5
(iii) (w³ − v³ + x³ + 3wvx)/(w² + v² + x² − 2wv − 2vx + 2wx) — अंश तीन घनों वाली सर्वसमिका है, जिसमें v ऋणात्मक लिया गया है।
अंश = w³ + (−v)³ + x³ − 3(w)(−v)(x)
= (w − v + x)(w² + v² + x² + wv + vx − wx)
हर = (w − v + x)²
= (w² + v² + x² + wv + vx − wx)/(w − v + x)
= (w − v + x)(w² + v² + x² + wv + vx − wx)
हर = (w − v + x)²
= (w² + v² + x² + wv + vx − wx)/(w − v + x)
(iv) (4y² − 20yz + 25z²)/(25z² − 4y²)
अंश = (2y − 5z)²
हर = (5z)² − (2y)² = (5z + 2y)(5z − 2y)
= (2y − 5z)² / [(5z + 2y)(5z − 2y)]
और (2y − 5z) = −(5z − 2y), अत: एक गुणनखंड कटने पर ऋण चिह्न शेष रहता है:
= −(2y − 5z)/(2y + 5z) = (5z − 2y)/(2y + 5z)
हर = (5z)² − (2y)² = (5z + 2y)(5z − 2y)
= (2y − 5z)² / [(5z + 2y)(5z − 2y)]
और (2y − 5z) = −(5z − 2y), अत: एक गुणनखंड कटने पर ऋण चिह्न शेष रहता है:
= −(2y − 5z)/(2y + 5z) = (5z − 2y)/(2y + 5z)
(v) [(x² + x − 6)(x² − 7x + 12)] / [(x² − 6x + 8)(x² − 9)]
x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2)
x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)
x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4)
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
= [(x + 3)(x − 2)(x − 3)(x − 4)] / [(x − 2)(x − 4)(x − 3)(x + 3)]
ऊपर का प्रत्येक गुणनखंड नीचे भी है → = 1
x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)
x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4)
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
= [(x + 3)(x − 2)(x − 3)(x − 4)] / [(x − 2)(x − 4)(x − 3)(x + 3)]
ऊपर का प्रत्येक गुणनखंड नीचे भी है → = 1
(vi) (p⁴ − 16)/(p² − 4p + 4)
अंश = (p²)² − 4² = (p² − 4)(p² + 4) = (p − 2)(p + 2)(p² + 4)
हर = (p − 2)²
= (p + 2)(p² + 4)/(p − 2)
हर = (p − 2)²
= (p + 2)(p² + 4)/(p − 2)
काटने के लिए शर्त क्यों आवश्यक है: (n − m)³/[5(n − m)²] = (n − m)/5 लिखने में अंश और हर दोनों को (n − m)² से भाग दिया गया है, जो केवल तभी वैध है जब n ≠ m हो। प्रश्न यही अनुमति देता है, यह मानकर कि हर शून्य नहीं है। इस आश्वासन के बिना दोनों व्यंजक सर्वत्र बराबर नहीं होते — बायाँ पक्ष n = m पर अपरिभाषित होता जबकि दायाँ पक्ष वहाँ 0 है।
संकेत: भाग (iii) में सबसे पहले x³ + y³ + z³ − 3xyz का आकार पहचानना लाभदायक है। यहाँ y = −v है, जिससे −3xyz बदलकर +3wvx और −v³ वैसा ही दिखता है जैसा व्यंजक में है। हर तो केवल (w − v + x)² है।