प्र1.
निम्नलिखित परिमेय व्यंजक को सरल करने का प्रयास कीजिए — (36s² − 12st + t²)/(t² + 2ts − 48s²) = (6s − t)²/[(___ + ___)(___ + ___)] (संकेत — t² + 2ts − 48s² का गुणनखंड कीजिए और t² + 2ts − 48s² ≠ 0 मानते हुए परिमेय व्यंजकों को सरल कीजिए।)
उत्तर
अंश। यह पहले से ही पूर्ण वर्ग है, इसीलिए पुस्तक ने इसे लिखकर दे दिया है:
36s² − 12st + t² = (6s)² − 2(6s)(t) + t² = (6s − t)²
हर। इसे t में द्विघात मानिए: ऐसे दो पद खोजिए जिनका योग 2s और गुणनफल −48s² हो। वे हैं 8s और −6s।
t² + 2ts − 48s² = t² + 8ts − 6ts − 48s²
= t(t + 8s) − 6s(t + 8s)
= (t + 8s)(t − 6s)
= t(t + 8s) − 6s(t + 8s)
= (t + 8s)(t − 6s)
अत: रिक्त स्थानों में (t + 8s)(t − 6s) आएगा, और अब भिन्न कट जाती है:
(36s² − 12st + t²)/(t² + 2ts − 48s²) = (6s − t)²/[(t + 8s)(t − 6s)]
ध्यान दीजिए (6s − t)² = (t − 6s)², क्योंकि वर्ग करने पर चिह्न मिट जाता है
= (t − 6s)²/[(t + 8s)(t − 6s)]
= (t − 6s)/(t + 8s)
ध्यान दीजिए (6s − t)² = (t − 6s)², क्योंकि वर्ग करने पर चिह्न मिट जाता है
= (t − 6s)²/[(t + 8s)(t − 6s)]
= (t − 6s)/(t + 8s)
चिह्न बदलना सुरक्षित क्यों है: (6s − t) और (t − 6s) एक-दूसरे के ऋण हैं, और वर्ग इस अंतर को नहीं पहचानता: (−u)² = u²। अंश को (t − 6s)² लिख देने पर हर के साथ का सार्व गुणनखंड दिखाई देने लगता है। उसे काटना इसलिए मान्य है क्योंकि प्रश्न में t² + 2ts − 48s² ≠ 0 दिया है, अत: विशेष रूप से t − 6s ≠ 0 है।
संकेत: परिमेय व्यंजक में कुछ भी काटते समय सदैव यह बताइए कि वह गुणनखंड शून्य क्यों नहीं है। प्रश्न में दी गई शर्त इसी के लिए है।