प्र1.
वितरण गुणधर्म का उपयोग करते हुए (x + y)(x² − xy + y²) को गुणा करने का प्रयास कीजिए। अनुमान लगाइए कि (x + y) (x² − xy + y²) क्या होगा।
उत्तर
अनुमान: x³ + y³। अध्याय अभी दिखा चुका है कि (x − y)(x² + xy + y²) = x³ − y³ है; इसमें y के स्थान पर −y रखने पर बायाँ पक्ष (x + y)(x² − xy + y²) और दायाँ पक्ष x³ + y³ बन जाता है। अब गुणा करके इसकी पुष्टि कीजिए।
(x + y)(x² − xy + y²)
= x(x² − xy + y²) + y(x² − xy + y²)
= (x³ − x²y + xy²) + (x²y − xy² + y³)
= x³ − x²y + x²y + xy² − xy² + y³
= x³ + y³
= x(x² − xy + y²) + y(x² − xy + y²)
= (x³ − x²y + xy²) + (x²y − xy² + y³)
= x³ − x²y + x²y + xy² − xy² + y³
= x³ + y³
मध्य के पद क्यों कट जाते हैं: दूसरा कोष्ठक इस प्रकार बना है कि उसका प्रत्येक पद x से गुणा होने पर ठीक वही बनाता है जो अगला पद y से गुणा होने पर बनाता है — परंतु विपरीत चिह्न के साथ। इसलिए छहों पद दो कटने वाले जोड़ों में बँट जाते हैं और केवल पहला और अंतिम बचता है। यही कारण है कि x + y का सही साथी x² − xy + y² है, जबकि x − y का सही साथी x² + xy + y²।
स्वयं जाँचिए: x = 2, y = 1। बायाँ पक्ष: (3)(4 − 2 + 1) = 3 × 3 = 9। दायाँ पक्ष: 8 + 1 = 9। ✓