प्र1.
हमें ज्ञात है कि x² − y² = (x − y)(x + y)। इसके अतिरिक्त हमने यह सत्यापित किया है कि x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)। अवलोकन कीजिए कि x − y, x² − y² और x³ − y³ का सार्व गुणनखंड है। क्या आपके विचार में x − y, x⁴ − y⁴ का भी गुणनखंड है? ध्यान दीजिए कि x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²) (x² + y²) है। क्या आप देख सकते हैं कि x − y, x⁴ − y⁴ का एक गुणनखंड किस प्रकार है?
उत्तर
हाँ। संकेत ही लगभग पूरा काम कर देता है — पहले कोष्ठक में x − y पहले से छिपा है।
x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)²
= (x² − y²)(x² + y²) — दो वर्गों का अंतर
= (x − y)(x + y)(x² + y²) — फिर से दो वर्गों का अंतर
अत: x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²), और x − y इसका गुणनखंड है।
= (x² − y²)(x² + y²) — दो वर्गों का अंतर
= (x − y)(x + y)(x² + y²) — फिर से दो वर्गों का अंतर
अत: x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²), और x − y इसका गुणनखंड है।
सीधे विभाजन से भी यही मिलता है:
x⁴ − y⁴ = (x − y)(x³ + x²y + xy² + y³)
और दोनों उत्तर एक ही हैं, क्योंकि (x + y)(x² + y²) = x³ + x²y + xy² + y³।
बिना बीजगणित के भी x − y गुणनखंड क्यों है: व्यंजक x⁴ − y⁴ में x = y रखिए। मान 0 आता है। जो भी व्यंजक x = y पर शून्य हो जाता है, उसका एक गुणनखंड x − y होता है — यही तर्क x² − y² और x³ − y³ के लिए भी लागू था। कक्षा 10 में आप इसे गुणनखंड प्रमेय के रूप में पढ़ेंगे।