कक्षा ९ गणित अध्याय 4 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
निम्नलिखित चित्र (चित्र 4.5) को देखिए। सर्वसमिका a² = (a + b) (a − b) + b² को स्वयं के लिए सिद्ध कीजिए।
उत्तर
यह चित्र ‘काटो और खिसकाओ’ वाली उपपत्ति है। a भुजा वाले वर्ग से आरंभ कीजिए और नीचे से b चौड़ाई की पट्टी काट लीजिए।
a भुजा वाला वर्ग। नीचे की पट्टी को b पर काटा गया है: b(a − b) वाला टुकड़ा घूमकर दाईं ओर लग जाता है, जिससे आकृति (a + b) × (a − b) का आयत बन जाती है और b × b का कोना शेष रह जाता है।
काटने से पहले: क्षेत्रफल = a²
नीचे की पट्टी a × b की है, और वह b(a − b) तथा b² में बँट जाती है।
b(a − b) वाले टुकड़े को घुमाकर दाईं भुजा पर लगाइए। वह ठीक बैठ जाता है, क्योंकि शेष भाग की ऊँचाई (a − b) है।
खिसकाने के बाद: (a + b) चौड़ा और (a − b) ऊँचा एक आयत, तथा अलग पड़ा b² का वर्ग
क्षेत्रफल = (a + b)(a − b) + b²
न कुछ जोड़ा गया, न हटाया गया, अत: a² = (a + b)(a − b) + b²
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर वही सर्वसमिका मिलती है जो आपने कक्षा 8 में पढ़ी थी:
a² − b² = (a + b)(a − b)
टुकड़े ठीक क्यों बैठते हैं: नीचे की पट्टी हटाने के बाद बचा भाग a चौड़ा और (a − b) ऊँचा है। कटी हुई पट्टी b ऊँची और (a − b) लंबी है, अत: उसे खड़ा करने पर वह (a − b) ऊँची और b चौड़ी हो जाती है — ठीक उतनी ही ऊँची जितना बचा हुआ भाग। चौड़ाइयाँ जुड़ जाती हैं: a + b। ऊँचाइयाँ मेल खाती हैं: a − b। सर्वसमिका यही कहती है कि ऐसी पुनर्व्यवस्था संभव है, और चित्र स्वयं वह पुनर्व्यवस्था है।
क्या आप जानते हैं? 750 सामान्य संवत में श्रीधराचार्य ने इसी को संख्याओं का वर्ग मौखिक रूप से निकालने की विधि के रूप में प्रस्तुत किया था। b ऐसा चुनिए कि a − b और a + b सरल हो जाएँ: 55² = (55 + 5)(55 − 5) + 5² = 60 × 50 + 25 = 3025। अब 98² = 100 × 96 + 4 = 9604 तथा 43² = 46 × 40 + 9 = 1849 कीजिए।
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