प्र1.
उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करके निम्नलिखित की गणना करने का प्रयास कीजिए — (i) 35² (ii) 65² (iii) 85² (iv) 105². क्या आपने किसी रोचक प्रतिरूप का अवलोकन किया?
उत्तर
यहाँ प्रत्येक संख्या 5 पर समाप्त होती है, अत: b = 5 के साथ श्रीधराचार्य का रूप a² = (a + b)(a − b) + b² ही उपयुक्त उपकरण है।
35² = (35 + 5)(35 − 5) + 5² = 40 × 30 + 25 = 1200 + 25 = 1225
65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225
85² = 90 × 80 + 25 = 7200 + 25 = 7225
105² = 110 × 100 + 25 = 11000 + 25 = 11025
65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225
85² = 90 × 80 + 25 = 7200 + 25 = 7225
105² = 110 × 100 + 25 = 11000 + 25 = 11025
प्रतिरूप। प्रत्येक उत्तर 25 पर समाप्त होता है, और उससे पहले के अंक दहाई के अंक को अगली संख्या से गुणा करने पर मिलते हैं:
| संख्या | n | n(n + 1) | वर्ग |
|---|---|---|---|
| 35 | 3 | 3 × 4 = 12 | 1225 |
| 65 | 6 | 6 × 7 = 42 | 4225 |
| 85 | 8 | 8 × 9 = 72 | 7225 |
| 105 | 10 | 10 × 11 = 110 | 11025 |
यह नियम क्यों काम करता है — उपपत्ति, संयोग नहीं: 5 पर समाप्त होने वाली कोई भी संख्या 10n + 5 के रूप की होती है। तब
(10n + 5)² = (10n)² + 2(10n)(5) + 5²
= 100n² + 100n + 25
= 100·n(n + 1) + 25
= 100n² + 100n + 25
= 100·n(n + 1) + 25
100·n(n + 1) का अर्थ है n(n + 1) को दो स्थान बाईं ओर लिख देना, और +25 अंतिम दो स्थान भर देता है। अत: “n को n + 1 से गुणा कीजिए, फिर 25 लिख दीजिए” वास्तव में यही सर्वसमिका है।
यह कीजिए: 995²। यहाँ n = 99, अत: n(n + 1) = 99 × 100 = 9900, और 995² = 990025।