प्र1.
मान लीजिए, 7x को 2x + 5x के रूप में विभाजित किया जाता है; क्या तब भी समान प्रकार की आयताकार व्यवस्था बनाई जा सकती है? अन्य संभावनाओं पर विचार कीजिए और परीक्षण कीजिए।
उत्तर
नहीं — 2x + 5x वाला विभाजन काम नहीं करता। यदि दो x-टाइलें x²-टाइल के दाईं ओर और पाँच उसके नीचे रखी जाएँ, तो इकाई टाइलों को 2 × 5 का कोना भरना होगा, जिसमें केवल 10 इकाइयाँ आती हैं। हमारे पास 12 हैं, अत: दो टाइलें बच जाती हैं और आकृति आयत नहीं बनती।
7x को दो पूर्ण-संख्या भागों में बाँटने के केवल तीन तरीके हैं। तीनों जाँचिए:
| 7x का विभाजन | इकाइयों को भरना है | आवश्यक इकाइयाँ | उपलब्ध इकाइयाँ | आयत बनेगा? |
|---|---|---|---|---|
| 1x + 6x | 1 × 6 | 6 | 12 | नहीं |
| 2x + 5x | 2 × 5 | 10 | 12 | नहीं |
| 3x + 4x | 3 × 4 | 12 | 12 | हाँ |
केवल एक ही विभाजन क्यों चलता है: एक ओर a और दूसरी ओर b x-टाइलें रखने पर (x + a) और (x + b) भुजाओं वाला आयत बनता है। उसका क्षेत्रफल (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab होता है। इसकी तुलना x² + 7x + 12 से करने पर एक साथ दो शर्तें लगती हैं: a + b = 7 तथा ab = 12। 7x को बाँटना तो सरल है — कठिनाई गुणनफल को 12 बनाए रखने में है, और यह केवल 3 तथा 4 से ही पूरा होता है।
संकेत: ठीक इसीलिए अनुभाग 4.6 की ‘मध्य पद के विभाजन’ वाली विधि पहले अचर पद के गुणनखंड-युग्म लिखती है और तब जाँचती है कि कौन-सा युग्म मध्य गुणांक बनाता है। टाइलें दोनों शर्तों को दिखा देती हैं: एक लंबाई है, दूसरी क्षेत्रफल।