कक्षा ९ गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.2 के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
प्रदर्शित कीजिए कि किसी जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र के साथ बनने वाला त्रिभुज, एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।
उत्तर
दिया गया है: केंद्र O वाला वृत्त और उसकी एक जीवा AB। OA और OB मिलाइए। सिद्ध करना है: ΔOAB समद्विबाहु है।
OA = वृत्त की त्रिज्या
OB = वृत्त की त्रिज्या
∴ OA = OB
जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हों वह समद्विबाहु होता है, अत: ΔOAB समद्विबाहु है, जिसका आधार AB है।
इस अध्याय में बार-बार काम आने वाला परिणाम: आधार के कोण समान होते हैं, अर्थात ∠OAB = ∠OBA।
ΔOAB की दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हैं, अत: वे समान हैं — त्रिभुज समद्विबाहु है।
यह कथन क्यों महत्त्वपूर्ण है: इस अध्याय में जीवाओं से संबंधित प्रत्येक उपपत्ति जीवा के सिरों को केंद्र से मिलाने से आरंभ होती है। ऐसा करते ही दो समान भुजाएँ मुफ़्त में मिल जाती हैं और समद्विबाहु त्रिभुज आधार के समान कोण दे देता है। प्रमेय 2, 3, 4 और 9 इसी पर टिकी हैं।
प्र2.
प्रदर्शित कीजिए कि यदि ऐसे दो समद्विबाहु त्रिभुजों (प्रश्न 1 के त्रिभुज) के आधार की लंबाई समान हो तो वे सर्वांगसम त्रिभुज होते हैं।
उत्तर
दिया गया है: केंद्र C वाले एक ही वृत्त की जीवाएँ AB और DE, जिनमें AB = DE है। सिद्ध करना है: ΔCAB ≅ ΔCDE।
CA = CB = r (त्रिज्याएँ)
CD = CE = r (त्रिज्याएँ)
⇒ CA = CD और CB = CE
AB = DE (दिया गया है — दोनों आधार समान हैं) SSS सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा ΔCAB ≅ ΔCDE
इससे तुरंत क्या मिलता है: सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग समान होते हैं, अत:
∠ACB = ∠DCE — समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं (प्रमेय 2)
और C से खींची गई ऊँचाइयाँ समान हैं — समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ हैं (प्रमेय 6)
संकेत: यदि इसके स्थान पर दोनों त्रिभुजों के C पर बने शीर्ष कोण समान दिए हों तो SAS लगाइए (दो त्रिज्याएँ और उनके बीच का कोण) और AB = DE प्राप्त होगा — यही प्रमेय 3 अर्थात विलोम है।
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