प्र1.
क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि प्रमेय 4 का विलोम सत्य क्यों है— किसी वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उस जीवा को क्यों समद्विभाजित करता है? (संकेत— चित्र 5.12 का उपयोग कीजिए। आपको बताया गया है कि ∠CMA = ∠CMB = 90° है। आपको प्रदर्शित करना है कि AM = BM है।)
उत्तर
दिया गया है: केंद्र C वाला वृत्त, जीवा AB, और CM ⊥ AB जहाँ M, AB पर स्थित है। सिद्ध करना है: AM = BM।
ΔCMA और ΔCMB में —
∠CMA = ∠CMB = 90° (दिया गया है — CM, AB पर लंब है)
CA = CB = r (त्रिज्याएँ — ये कर्ण हैं)
CM = CM (उभयनिष्ठ भुजा)
RHS सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा ΔCMA ≅ ΔCMB
∴ AM = BM (संगत भुजाएँ) — CM जीवा AB को समद्विभाजित करता है
∠CMA = ∠CMB = 90° (दिया गया है — CM, AB पर लंब है)
CA = CB = r (त्रिज्याएँ — ये कर्ण हैं)
CM = CM (उभयनिष्ठ भुजा)
RHS सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा ΔCMA ≅ ΔCMB
∴ AM = BM (संगत भुजाएँ) — CM जीवा AB को समद्विभाजित करता है
बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से वैकल्पिक विधि —
AM² = CA² − CM² और BM² = CB² − CM²
CA = CB = r है और CM दोनों में वही है
⇒ AM² = BM² ⇒ AM = BM (लंबाइयाँ धनात्मक होती हैं)
CA = CB = r है और CM दोनों में वही है
⇒ AM² = BM² ⇒ AM = BM (लंबाइयाँ धनात्मक होती हैं)
RHS ही क्यों, SSS क्यों नहीं: यहाँ हमें समकोण और दोनों कर्ण दिए गए हैं और तीसरी भुजाओं का युग्म अभी ज्ञात नहीं है — यही तो RHS की स्थिति है। प्रमेय 4 में इसके ठीक विपरीत मध्यबिंदु दिया था और समकोण सिद्ध करना था; वहाँ SAS उपयुक्त था।