कक्षा ९ गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.4 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्रदर्शित कीजिए कि क्यों प्रमेय 6 अवश्य ही सत्य होनी चाहिए।

उत्तर

प्रमेय 6: किसी वृत्त की समान लंबाई की जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।

दिया गया है: केंद्र C और त्रिज्या r वाला वृत्त; जीवाएँ AB और FG, जिनमें AB = FG है; E और H क्रमश: C से AB और FG पर खींचे गए लंबों के पाद हैं। सिद्ध करना है: CE = CH।

प्रमेय 5 के अनुसार केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, अत:
AE = ½ AB और FH = ½ FG
AB = FG (दिया गया) ⇒ AE = FH

ΔCEA, E पर समकोण है, अत: बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से —
CE² = CA² − AE² = r² − AE²
इसी प्रकार CH² = CF² − FH² = r² − FH²

चूँकि AE = FH है, दोनों दाएँ पक्ष समान हैं —
CE² = CH² ⇒ CE = CH (लंबाइयाँ धनात्मक हैं)

यह उपपत्ति क्यों उपयोगी है: पाठ में दी गई उपपत्ति SSS या RHS का उपयोग करती है; यह उपपत्ति पूरी प्रमेय को एक ही समीकरण में बदल देती है। सूत्र के रूप में यह कहती है — d = √(r² − (ℓ/2)²): दूरी केवल जीवा की लंबाई ℓ पर निर्भर है, और किसी बात पर नहीं। ℓ समान होने पर d समान होना ही है — और इसी को उलटकर पढ़ने से प्रमेय 7 तथा प्रमेय 8 भी तुरंत मिल जाती हैं।

प्र2.

चित्र 5.15 पर विचार कीजिए। यदि CE, AB पर लंब है, CH, GH पर लंब है और CE = CH है तो प्रदर्शित कीजिए कि AB = GF है।

उत्तर

(चित्र 5.15 में C केंद्र है; AB और GF जीवाएँ हैं, E, AB पर और H, GF पर स्थित है। प्रतिबंध यह है कि CH, जीवा GF पर लंब है — जैसा चित्र में समकोण चिह्न से दर्शाया गया है।)

दिया गया है: CE ⊥ AB, CH ⊥ GF, CE = CH। सिद्ध करना है: AB = GF।

ΔCEA और ΔCHF में —
∠CEA = ∠CHF = 90° (दिया गया)
CA = CF = r (त्रिज्याएँ — ये कर्ण हैं)
CE = CH (दिया गया)
RHS सर्वांगसमता प्रतिबंध द्वारा ΔCEA ≅ ΔCHF
⇒ AE = FH (संगत भुजाएँ)

प्रमेय 5 के अनुसार E और H क्रमश: AB और GF के मध्यबिंदु हैं, अत:
AB = 2 AE और GF = 2 FH
∴ AB = 2 AE = 2 FH = GF

मध्यबिंदु वाला चरण क्यों आवश्यक है: सर्वांगसमता से केवल आधी जीवाएँ समान मिलती हैं। प्रमेय 5 — केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है — ही AE = FH को AB = GF में बदलती है। यह प्रश्न वस्तुत: प्रमेय 7 अर्थात प्रमेय 6 का विलोम सिद्ध करता है।

ध्यान दीजिए: मुद्रित प्रश्न में "CH, GH पर लंब है" लिखा है। चूँकि H जीवा GF पर ही स्थित है, अभिप्राय जीवा GF से है; चित्र 5.15 में समकोण H पर जीवा GF के साथ ही अंकित है।

प्र3.

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए प्रश्न 2 को हल कीजिए।

उत्तर

दिया गया है: CE ⊥ AB, CH ⊥ GF, CE = CH, जहाँ C केंद्र और त्रिज्या r है। सिद्ध करना है: AB = GF।

ΔCEA, E पर समकोण है: AE² = CA² − CE² = r² − CE²
ΔCHF, H पर समकोण है: FH² = CF² − CH² = r² − CH²

दिया है CE = CH, अत: CE² = CH², इसलिए
AE² = FH² ⇒ AE = FH

प्रमेय 5 के अनुसार E और H जीवाओं को समद्विभाजित करते हैं:
AB = 2 AE और GF = 2 FH
∴ AB = GF

संकेत: अनुभाग 5.6 और 5.6.1 का पूरा सार एक ही सर्वसमिका में है — (आधी जीवा)² + d² = r²। r को स्थिर रखिए। तब d जीवा को तय करता है और जीवा d को। समान जीवाएँ ⇒ समान d (प्रमेय 6); समान d ⇒ समान जीवाएँ (प्रमेय 7); बड़ी जीवा ⇒ छोटा d (प्रमेय 8)।

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